THÉORÈME DE TAYLOR

Démonstratijon de Taylor.

272. Le théorème de Taylor permet de développer une fonction quelconque d'une variable en série ordonnée suivant les puissances de cette variable ou de l'accroissement qu'on lui attribue à partir d'une valeur arbitrairement fixée. La généralité de la formule est restreinte, il est vrai, par des conditions de convergence qui sont indispensables et que cependant les géomètres n'ont étudiées que longtemps après la découverte du théorème. Cette condition essentielle, à laquelle Taylor n'avait aucun égard, rend inacceptable pour nous la démonstration qui l'a conduit a sa mémorable découverte, et que nous commencerons cependant par faire connaître.

Soit (f{cc) une fonction de la variable x\ changeon&-y successivement x en X -H Ao?, a? -h 2 Arc, x-h 3 Arc,..., x -h nAo?, et considérons la suite

que nous écrirons, pour abréger,

•y^ X** x*^ ' ' ' 9 y*' Posons, comme nous l'avons fait (134),

r. — r = Aj, J, — J, = Aj„ . . . , Xn—Xn-^x = A7,, ,

A j, — Aj = Ay, Aj,— AJ, = Ay, , . . . , A j„. — A y\^^ = A'^-».,,

A» j, — A^ = AY, A^/a — A'r» = ^"r y ^'r— » — ^'r—» = ^*j«-3 ,

y„ peut s'exprimer, comme on sait, en fonction dey, Aj, A^j,..., A"y, et l'on a identiquement

(I) y^^^y-^n^r-^ , , A'jH- "^ — — r4 ■ ^ rH-- • •+ ^"r-

Cette formule est bien facile à vérifier quand on suppose n=a, /i = 3,..., et l'on

peut prouver très-aisément que si elle est vraie pour une valeur de /i, elle Test, par cela même, pour la valeur immédiatement supérieure.

Cela posé, si dans l'identité (i) on suppose nArc = A, et que Ton remplace n par

la valeur — -> y„ deviendra (p(a7 -f- h), et Ton aura

^r h.{/t — àx)^\r . //.(A — aj-) (A — ^.ajt) Ay- .

et si, laissant h constant, on fait croître n indéfiniment, Hx devient infiniment petit, et l'équation, dont le second membre se prolonge alors indéfiniment, devient

(3) ^[:c-^h) = <f(x)^h<f'{x)-^J!L^^^(^)^JL^

(]ette démonstration n'est pas rigoureuse, et c'est pour cela que nous nous bornons à en indiquer rapidement le principe : lorsqu'on suppose, en effet, que n augmente indéfiniment, il existe toujours dans le second membre de l'équation (2) un nombre de plus en plus grand de termes qui n'ont pas pour limites les termes correspondants de l'équation (3). Le terme général est, en effet,

h.{/i — ^x] (h — iàx)...[h — {p— \)àx] ^ 1.2.3. . . p àxf

en lui assignant pour limite

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