I -l-^-l-jv^ — I =p'(coSû>-H^ — I sin

p' et a> sont les coordonnées polaires du point M, lorsque l'on prend pour pôle le point A, et OX pour axe, l'angle w pouvant, bien entendu, être augmenté ou diminué d'un multiple de in. On aura

« = p''" (cos«-|- ^— isinwj^zrzp'" (cosmw-hv^ — i sinm»)»

et il faut décider quelle valeur, dans cette expression, doit recevoir l'angle «. Or, en supposant i = o, on a, par convention, u = i. On doit prendre, par conséquent, p' = 1 , 0=0; z changeant d'une manière continue, p' et w doivent varier aussi d'une manière continue, et il est évident que le point M ne sortant pas du cercle

de rayon unité décrit du point 0 comme centre, w reste compris entre — - et -h -y

ce qui dissipe toute ambiguïté.

Si le point auquel correspond la valeur de z pouvait se mouvoir librement sur le plan, la valeur correspondante de fù variant d'une manière continue, pourrait

n'être plus comprise entre — - et -h -> et tout en assignant à u la valeur -h i

comme correspondant à la valeur initiale z = o, on devrait pour chaque valeur de z, y compris même z = o considéré comme valeur finale, regarder u comme indéterminé. Il est clair en effet que dans l'expression

(i -i-z)" = p''"(cosmwH- \/ — I sinm&>), (ù = o correspondant, par convention, a la valeur initiale z = o, si le point du plan auquel correspond la valeur de z tourne autour du point A, &> qui est l'angle formé par le rayon vecteur AM avec l'axe AO recevra, a chaque révolution, un accrois* sèment égal à 2n. Si, par exemple, le chemin suivi pour aller de 0 en M est celui que représente la figure

la continuité exige que Ton prenne w égal à l'angle MAO augmenté de 4^» et l'on I. . 48

aura, dans cette hypothèse, en posant MAO = ot,

u = (i H-z)'"=p'*[cos {moL-^ 4 ^'^) -H V^— I sin(ma -f-.4 nii:)\

Si le point mobile revient en 0 après avoir fait une révolution autour de A, on aura

M = C0S2 mit H- ^ — I sin2/n9r,

et l'hypothèse d'une valeur unique, u= 4- i, correspondant à a = o, est incompatible, par conséquent, avec la continuité de la fonction qui est essentiellement ambiguë si l'on ne limite pas, comme nous l'avions fait d'abord, les valeurs que peut prendre z.