PQ

et par conséquent l'équation ( i ) peut s'écrire

(3) pR£;rf«.-Hl^^rf«.-f-PQ^rf«,-l--^^rf«, = -PR.PQ.

da, p, da, da, pi da.

Or on a (556)

A. = PR=^, rf,, = PQ = ^,

et par coaséquent

c/(PR) d (da,\j^

dxi dat \ hi /

*• -^ — a ai

OU enfin (556)

doct ht ht pi — "3 — a «1 T— r »

et l'équation (3) devient

daidoct \pi/ I dotxdai dotxda^ \pa/ i duida^ dotxdxi

A, rfai pî hxhi Tt\ rfaa pî Ai Aï Ai A,

et en supprimant le facteur doL^, dct^^ et noultipliant par A|, A,* c' est-a-dire, à cause de -^ = ds^, -^ = d!r,,

fly fit

Si l'on veut représenter par R le rayon de la sphère pris jusqu'ici pour unité, p,, pt, ds^, dst seront chacun divisés par R, et l'équatioi^deviendra

dl dl

559. La formule (6) peut être transformée de manière à ne plus contenir que les fonctions A,, A„ et les paramètres a,» aj, dont elles dépendent. Reprenons en effet l'équation

dU) dil] ««1 </«, pî p;

on a (556)

- =nJh -j — î Pi a «i

et l'équation devient

//, -= — \ A, Aj -7— î / -h Ih -j— \ /i. A, -= —

AfAf

"iV

c'est-à-dire, en faisant les mêmes réductions que (513),

h^ Jh JL' — h'— — = --

' rfa, rfa, ' rfa, rfa. À, A,

560. Les fonctions r-' t-» faisant connaître (556) la loi de variation de la distance

entre deux courbes infiniment voisines appartenant à un même système, on comprend que l'équation ( 7 ) qui a lieu entre ces fonctions et leurs dérivées exprime implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels une sphère peut être décomposée par deux systèmes de lignes orthogonales. Pour obtenir cette loiexplicitemunt,il suffira de remplacer dans la formule, j- etT- par leur expression en fonction des côtés infiniment petits de ces reclangles. Soient PQRS, P,Q,R,S|..., PP.Pj, QQiQa..» les lignes de l'un et l'autre

système correspondant aux valeurs a,, «a, des paramètres, et à celles que l'on obtient en leur attribuant des accroissements infiniment petits, égaux k dcxi pour le premier, et k rfa^ pour le second. Nommons, comme nous l'avons fait, dans le cas des courbes planes, œeiy les côtés PQ, PP|... du premier rectangle, et désignons parle signe rf la variation qui correspond k l'accroissement rfa, de a,, et par c^ celle I. 75

594 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL UFFlRENTlEL.

qui correspond a la variation da^ de a,, on a

rf^

j, = QQ,PP,= ^(^)...=..„„^;.

d^x = -^ — [dx)d<Xi =da] doc, —r-T ^ doL, da]

En substituant dans Téq nation (7) à A^ , A,, et a leurs dérivées, les valeurs déduites de ces formules, elle devient, après la suppression du dénominateur c/a, .doL^,

d^x o'' y dx dy dxdy

— + --- yr--- ^ = — r.

c'est-à-dire, (8) x\rd*x -hy^xd^x — x^ dydx — j» dyàx = — x'^y^.

Les variables a,, aj, dont les accroissements ont déterminé la loi d'espacement des courbes qui forment les rectangles, étant arbitraires, cette loi est elle-même arbitraire; l'équation (8) exprime donc la loi la plus générale régissant les côtés des rectangles curvilignes infiniment petits, que l'on peut juxtaposer sur une sphère dont le rayon est pris pour unité. •

Si l'on veut changer d'unité et représenter par R le rayon de la sphère, a:, r, dœ, dy, d^x, d^y..,, étant des lignes, doivent être divisées par R, et l'équation ^8, devient

(g) x^ y d*x -}- y* X d*y — x^dydx — y^dydx=^ ~

En la comparant à Téquation qui convient (514) aux rectangles juxtaposés sur un plan, on voit qu'elles sont incompatibles et qu'il est impossible par conséquent que deux surfaces, Tune plane, l'autre sphérique, soient recouvertes par les mêmes rectangles infiniment petits.

On en conclut aisément qu'une carte géographique plane doit nécessairement altérer les rapports entre les longueurs des lignes tracées sur la sphère que Ton veut y représenter.

561. L'équation (9) peut être aisément vérifiée dans le cas où les lignes de l'un des systèmes sont des grands cercles de la sphère. Deux lignes quelconques de l'autre système interceptent (553) sur les grands cercles auxquels elles sont nor-

males des longueurs égales; considérons, dans ce cas, trois rectangles contigus, dont les côtés figurent dans la formule, nous aurons

pp.=r, 5r=o. ^'r=«, p.p,=j-f.rfr,

P,Q, = j:-|-rfjr, P,Q, = x-|-2dj:-|-û?»jr, et l'équation (9) devient (10) x^yd'^x — x^drdx^=i —-•

Soient Rd la distance du point P à l'intersection des deux grands cercles, Qid^i^ l'angle qu'ils font entre eux. On a évidemment

ar = Rsin ôrfvj^, et en remarquant que la différentielle d se rapporte à la seule variation de d,

^' = Rrf0, rfj=Rrf>0, dx = ^cosBdBd^y rf^^r = — R sin BdQ^d^ -4- R cos 9 d^ 6 rfij;,

la substitution de ces valeurs rend l'équation (10) identique.

EXERCICES

1. Toute courbe sphérique donlla courbure géodésique est constante est un cercle.

2. La développante sphérique d'un petit cercle tracé sur une sphère est une hélice, c'esià-dire une courbe dont les tangentes forment un angle constant avec une droite fixe.

3. Si l'on nomme 9 la distance d'un point d'une courbe sphérique à un pôle fixe situé sur la sphère, et p la distance de ce pôle à l'arc de grand cercle tangent, la courbure géodésique est exprimée par la formule

I d.s'mp

ô"" slnO.de'

k. En nommant ellipse sphérique la courbe tracée sur la sphère, et telle, que la soiiiine des distances de chacun de ses points à deux points fixes soit constante. Tare de grand cercle tangent à Tellipse sphérique forme en chaque point des angles égaux avec les rayons vecteurs issus des foyers, et la courbure géodésique est proportionnelle au cube du sinus de ces angles.

5. La loxodromie est une courbe tracée sur la sphère, el qui coupe les méridiens issus d'un même point sous un angle constant; la courbure géodésique en chaque point est exprimée par la formule

I sin V

p lang 0 '

V étant l'angle constant formé parla loxodromie avec les méridiens, el 9 la distance du poini considéré au pôle par lequel passent tous les méridiens.