Ellipsoïde. — Soit

l'équation d'un ellipsoïde: cette surface fait partie (128) d'un triple système de surfaces orthogonales formé par toutes les surfaces du second degré, dont les sections principales sont décrites des mêmes foyers. Le théorème de M. Dupin fait par conséquent connaître les lignes de courbure qui résultent de l'intersection de l'ellipsoïde par les surfaces des deux autres systèmes, c'est-à-dire par les hyperboloïdes à deux nappes doot les équations sont

V* et p^ désignant deux paramètres arbitraires, le premier compris entre 6* et c-, et le second moindre que b^.

Pour obtenir la projection des lignes de courbure sur le plan des XZ, c'est-à-dire sur celui des plans principaux de la surface qui contient le plus grand axe et le plus petit, il faut éliminer^ entre les équations (i) et (2); on trouve ainsi

^^^ fx'v» "^(^» — c»)(c» — V»)"" •

Pour obtenir les lignes de courbure de l'autre système, il suffît de changer v en p; leur équation est par conséquent

Les équations (4) et (5) représentent des ellipses. Elles ne différent que par le changement des paramètres arbitraires v et p l'un dans l'autre. Mais on ne doit pas oublier que v* est compris entre b^ et c*, tandis que p* est moindre que 6*. Si Ton

attribue à ces paramètres leur valeur limite, qui est 6^, les équations (4) et (5) deviennent

et représentent toutes deux l'ellipse principale.

On peut aisément s'assurer que les ellipses définies par les équations (4) et (5) sont tangentes aux quatre droites représentées par l'équation

lie c)llL^ — C'

Cette condition commune aux deux systèmes les définit complètement. L'équation (6) représente la courbe limite qui sépare les projections des lignes du premier système de celles du second.

690. Surfojces déi^eloppables. — Les génératrices rectilignes d'une surface développable sont les lignes de courbure de l'un des systèmes; les normales menées par les points d'une même génératrice forment en effet un plan qui est la plus simple des surfaces développables. Les lignes de courbure de l'autre système coupent les génératrices à angle droit et sont par là déterminées; si l'on développait la surface, ces lignes deviendraient les développantes de la transformée de l'arête de rebroussement. En chaque point d'une surface développable un des rayons de courbure est infini. Les normales à la surface, menées par deux points infiniment voisins d'une génératrice, sont en effet parallèles, et le centre de courbure, qu'elles doivent déterminer par leur intersection, est par conséquent situé à l'infini. On voit d'ailleurs que la section normale tangente à la ligne de courbure est dans ce cas la génératrice ellemême, et que son rayon de courbure est' infini.

Le second rayon de courbure varie d'une génératrice à l'autre avec la forme de la surface; elle varie aussi d'un point a l'autre d'une même génératrice. Nous allons en former l'expression générale.

Soient OA, O'A' deux génératrices voisines d'une surface développable, dont l'arête de rebroussement est 00'; soit MM' un arc infiniment petit de la ligne de courbure perpendiculaire à OA et O'A' : les normales à la surface aux points M et M'

se rencontrent au centre de courbure C, et MC est le rayon de courbure cherché. On a, en nommant î l'angle des deux normales,

mc=mm:

Si d'ailleurs on nomme e' l'angle des deux génératrices OA, O'A', on sait qu'elles peuvent être considérées comme se rencontrant en un point I, situé sur Taréte de rebroussement, et l'on a

MC=:M1. -; e

pour tous les points d'une même génératrice, le rapport - reste constant. MC est

par conséquent proportionnel a MI, c'est-à-dire à MO qui n'en diffère pas a la limite.

Le rayon de courbure aux différents points d'une même génératrice est donc

proportionnel à la distance de ce point à l'arête de rebroussement. Le rapport -

a d'ailleurs une valeur remarquable, s est en effet l'angle infiniment petit de deux tangentes à l'arête de rebroussement, et £, angle de deux normales à la surface, est égal à celui des plans tangents, c'est-à-dire (571) à l'angle de deux plans oscu-

lateurs infiniment voisins de l'arête de rebroussement; - est par conséquent le rapport des deux courbures de l'arête de rebroussement, et si l'on désigne les courbures par - et -9 on a enfin pour l'expression du rayon de courbure de la surface développable au point M,