ÉTUDE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

Lignes géodésiques.

707. La ligne la plus courte que Ton puisse tracer entre deux points d'une surface se nomme ligne géodésique; ces lignes jouent le même rôle dans l'étude des courbes tracées sur une surface que la ligne droite dans l'étude des courbes planes ou le grand cercle dans celle des courbes sphériques.

On a vu (631) que le plan osculateur d'une ligne géodésique est, en chaque point, normal à la surface sur laquelle elle est tracée. Réciproquement, si une courbe tracée sur une surface a, en chaque point, son plan osculateur normal à la surface, un arc infiniment petit de celte courbe est, comme on l'a vu (631), le plus court que l'on puisse tracer sur la surface entre ses deux extrémités. La ligne reçoit alors par extension le nom de ligne géodésique, quoiqu'elle puisse ne pas être la plus courte entre deux points suffisamment éloignés. C'est ainsi par exemple que, sur une sphère, un arc de grand cercle plus grand qu'une demi-circonférence se nomme ligne géodésique, quoiqu'il ne soit pas la plus courte distance entre ses deux extrémités.

Par deux points donnés sur une surface on peut toujours faire passer une ligne géodésique au moins, mais d'après ce que nous venons de dire on conçoit qu'il en puisse exister plusieurs; ainsi, par exemple, deux points de la surface d'un cylindre peuvent être réunis par un nombre infini d'hélices formant entre eux un nombre quelconque de spires.

708. La propriété caractéristique des lignes géodésiques peut être énoncée sous une forme qui nous sera très-utile : la projection d'une ligne géodésique sur le plan tangent k la surface en un quelconque de ses points a, en ce point, un rayon de courbure infini.

Soit, en effet, MM' un arc infiniment petit de ligne géodésique tracé sur une surface S, et MM" la projection de cet arc sur le plan qui touche la surface en M, ce plan tangent est perpendiculaire au plan osculateur de l'arc MM', et coupé par lui suivant la tangente commune des arcs MM', MM"; il en résulte que la distance du point M" à la tangente en M de l'arc MM" est rigoureusement égale à la perpendiculaire abaissée du point M' de l'arc MM' sur le plan osculateur de cet arc en M;

elle est donc du troisième ordre, et le rayon de courbure de MM" est par conséquent

infini.

709. Lorsque deux lignes géodésiques se coupent sous un angle infinimenr petit rfw, la loi de leur écartement, à distance infiniment petite du point d'intersection, est la même que pour deux lignes droites sur un plan; en d'autres termes, si Ton porte sur chacune d'elles, à partir de leur point d'intersection 0, des longueurs infiniment petites égales, OP et OQ, que nous représenterons par rf/, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

PQ = rf/.rfo).

Projetons en effet le triangle infinitésimal OPQ sur le plan qui touche la surface

en 0; les projections de OP et de OQ ont des rayons de courbure infinis : nous pouvons donc, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, les remplacer par leurs tangentes; toutes les lignes de la figure formant d'ailleurs des angles infiniment petits avec le plan sur lequel on projette, chacune d'elles peut être considérée comme égale à sa projection; on peut donc considérer la distance PQ, en ne négligeant qu'une portion infiniment petite de sa propre valeur, comme la distance de deux points situés chacun a distance dl du sommet, sur les côtés d'un angle rectiligne rfw; cette distance est évidemment dl.d(>>.

Il faut bien remarquer que ce résultat cesserait d'être exact si les lignes géodésiques qui forment les côtés de l'angle étaient remplacées par deux courbes quelconques; il est aisé de voir que, même sur un plan, le théorème, appliqué à deux courbes qui se coupent sous un angle infiniment petit, serait inexact; l'expression trouvée est en effet celle que l'on obtiendrait en remplaçant chaque courbe par sa tangente; or une telle substitution intrçduit une erreur du second ordre, comparable par conséquent à la distance que l'on veut évaluer.

710. Lorsque trois lignes géodésiques d'une surface forment un triangle infiniment petit, l'excès de la somme des angles de ce triangle sur deux angles droits est un infiniment petit de même ordre que la surface du triangle, c'est-à-dire un infiniment petit du second ordre, si l'on regarde les côtés comme du premier ordre.

Soit en effet ÂBC un triangle infiniment petit formé par trois lignes géodésiques

d'une surface; projetons la figure sur le plan tangent en A; les trois lignes ÂB,

AC, BC seront représentées en projection par trois lignes planes AB', AC, B'C; les courbes issues du point A sont tangentes à leurs projections, et par conséquent les angles en A dans les deux triangles sont rigoureusement égaux; la différence entre Tun des deux autres angles B et C, et la projection, est infiniment petite du second ordre; il est facile de voir, en effet, qu'un angle situé sur un plan diffère d'un infiniment petit du second ordre de sa projection sur un plan formant avec le premier un angle infiniment petit du premier ordre. La somme des angles du triangle ABC ne diffère donc que d'un infiniment petit du second ordre de celle des angles du triangle AB'C; or les trois côtés de ce dernier triangle ont des rayons de courbure infinis. La démonstration a été faite (708) pour AB', AC; quant à l'arc B'G', projection de BC, nous savons, d'après ce qui a été dit (708) que la projection de BC sur le plan tangent en B a un rayon de courbure infini, et comme les plans tangents aux points A et B diffèrent infiniment peu, il en est évidemment de même de la projection sur le plan tangent en A. Les trois côtés du triangle AB'C ayant des rayons de courbure infinis, les angles formés par les cordes rectilignes de ces arcs avec les tangentes à leurs extrémités sont infiniment petits du second ordre, et la somme des angles de ce triangle ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de la somme des angles du triangle rectiligne qui a les mêmes sommets, c'est-à-dire de deux angles droits. La différence entre cette même somme et la somme des angles de ABC est d'ailleurs, comme on l'a vu, infiniment petite du second ordre: il est donc prouvé que la somme des anglcts du triangle donne ABC est égale à deux angles droits, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre.

711. Si par un point pris sur une surface on mène des lignes géodésiques dans toutes les directions, et que sur chacune d'elles on porte, à partir de ce point, une longueur constante quelconque, le lieu des extrémités des arcs ainsi définis coupe perpendiculairement toutes les lignes géodésiques considérées. Soient en effet OM, OM' deux lignes géodésiques voisines de même longueur, il faut prouver que

l'angle OMM' est droit. Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi; l'un des angles OMM', OM'M sera alors aigu et l'autre obtus. Admettons que l'angle en M soit obtus; menons par le point M sur la surface une ligne infiniment petite MK, telle que l'angle KMM' soit plus grand que KM'M: le triangle KMM' étant infiniment petit, on peut le regarder comme rectiligne, et l'on a, à cause de l'inégalité supposée des angles,