PRÉFACE. XXVII

entendu, tend vers zéro lorsque le rang du terme augmente indéfiniment. Ces sommes d'éléments se présentaient en outre comme des formes transitoires auxquelles on ne pouvait s'arrêter, et qui par elles-mêmes n'eussent été d'aucun secours.

C'est encore la recherche d'une quadrature qui conduisit Mercator à la série célèbre qui représente / (i + a:), et dont la démonstration, qui a précédé la découverte du calcul différentiel et celle du calcul intégral, revient

au fond à remplacer la fraction par une progression indéfinie, et à in-

tégrer ensuite les deux membres de l'équation. Cette série, publiée en 1 672 dans l'ouvrage intitulé Logarithmotechnia^ est le premier exemple d'une formule composée d'un nombre illimité de termes, et utilement employée pour le Calcul numérique de l'expression qu'elle représente : chacune des parties dont se compose la démonstration de Mercator était alors bien connue. Huyghens avait montré l'identité des logarithmes avec les aires hyperboliques, et Y^rithmetica infinitorum de Wallis faisait connaître l'aire des courbes dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse, c'est-à-dire, dansnotre langage actuel, l'intégrale de chacun des termes de la progression. Le seul, mais le grand mérite de Mercator, est donc d'avoir appelé l'attention sur l'expression indéfinie qu'il était sans doute facile de former, mais dont un géomètre moins perspicace aurait mécortnu l'importance.

Lorsque Mercator publia sa découverte, Newton était depuis plusieurs années en possession de l'idée fondamentale qui y conduit, et la communiqua à Barrow, autrefois son maître et alors son collègue, en mettant sous ses yeux le manuscrit du Traité intitulé : Analysis per œquationes numéro terminorum infinitas. Newton, dans ce petit Traité, transporte pour ainsi dire au calcul algébrique les méthodes de l'Arithmétique. Les séries ordorinées suivant les puissances de la variable sont, à ses yeux, la généralisation des fractions décimales qui peuvent représenter tous les nombres. De même que ces fractions décimales participent aux propriétés des nombres entiers et se prêtent aussi facilement qu'eux au calcul, les séries transforment les expressions fractionnaires ou irrationnelles en polynômes entiers, et ramènent les expressions les plus compliquées à un type uniforme et simple.

xxviii PRÉFACE.

Quoique ce mode de développement s'applique utilement à un grand nombre de problèmes, c'est en vue surtout de la quadrature des courbes que Newton le considère d'abord. Comme Mercator, il fait usage de la formule de Wallis, qui exprime l'aire d'une courbe dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse ; mais il va beaucoup plus loin que lui,* en appliquant la méthode, non-seulement aux fonctions algébriques explicites, mais encore à la résolution des équations littérales dont il développe la racine en série, et trouvant enfin l'expression d'un arc de cercle en fonction de son^ sinus, puis par la méthode du retour des suites, dont il est l'inventeur, le développement du sinus en série ordonnée suivant les puissances de l'arc. Dans ce premier essai, l'illustre auteur se^ contente de former les termes du développement sans s'attacher à démontrer leur expression générale qu'il devine par analogie. La formule pour le développement de la puissance d'un binôme ne s'y trouve pas; c'est longtemps après, en 1G76, dans une lettre à Oldenbourg, qu'il indique longuement comment il a été conduit à la deviner et à en vérifier ensuite l'exactitude. L'opuscule de Newton fut communiqué par Barrow à plusieurs géomètres dont il excita la vive admiration; mais loin d'être stimulé par de tels suffrages, Newton cessa dès lors de poursuivre ses idées, persuadé que Mercator, étant entré dans cette voie, trouverait aisément le reste avant que lui-même fut d'un dge assez mûr pour rien publier : il avait alors vingt-six ans et possédait déjà, outre la méthode des séries, les principes du calcul des fluxions et la décomposition de la lumière! La gloire (le Newton ayant appelé sur ses moindres actes les minutieuses recherches de la postérité, tous ces faits ont été mis hors de doute et ne peuvent être contestés : mais s'il s'agissait de tout autre, le silence qu'il garda envers le public ne permettrait-il pas d'assigner à ses recherches une date postérieure à la publication de Mercator.^ Tant il est vrai que sur de telles questions on ne doit raisonner ([u'avec une extrême réserve.

Gregory découvrit, peu de temps après, la série qui exprime un arc en fonction de sa tangente, et Leibnitz y parvint également après lui, mais à l'aide de principes différents et sans avoir eu connaissance du résultat. Ils doivent être cités l'un et l'autre parmi les créateurs de la théorie des séries. On doit également mentionner Jacques Bemoulli, inventeur d'un théorème