LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 2ih
Soit la série à termes positifs Soient <p (n) une fonction quelconque de n et a une constante arbitraire; posons
et Ton aura identiquement
ainsi qu'on s'en assure en substituant à ^ (n), ^ (/i -h i ),..., leurs valeurs fournies par l'équation (2).
Cela posé, supposons que pour de très-grandes valeurs de n, 9 {n)u„ tende vers zéro, et que, de plus, <|* (n), ty (n -+- i), ... soient tous positifs; il est clair que le premier membre, qui est positif, tendra lui-même vers zéro, quel que soit k, et que, par suite, la série est convergente; nous avons donc le théorème suivant :
Soit<p(n) une/onction de n telle, que cp(n)un tende vers zéro lorsque n augmente et que de plus la différence
Un
soit positive pour n infini: la série est convergente La condition
a peut s'écrire, si l'on suppose a positif,
<P ( n ) un
Un+t
elle sera toujours remplie, puisque a est arbitraire, si 9 n u" — ç (n •+- 1; a une limite plus grande que zéro.
244. M. Kummer a fait connaître un second théorème qui permet d'affirmer dans un grand nombre de cas qu'une série a termes positifs est divergente. Conservons la notation du numéro précédent, et posons en outre
(3) y{n)un — f(n -h i)w,+i = m,1+1/(w).
Remplaçons successivement n par n -h 1, w + 2, /* + 3,..., et ajoutant membre
à membre les équations obtenues, on aura, puisque uncp(n) est nul pour n infini,
? ( n ) un = um+ , /( n ) -h mb+2 /( n H- i ) -h w„+3 /( ft -H 2 ) -f- . . . ,
ou, en divisant par/(n), -
Si maintenant f[n) tend vers zéro lorsque n augmente, les coefficients qui dans le second membre multiplient les termes de la série primitive sont tous moindres* que l'unité, et, par suite,
? ( H ) Un ^
Si donc *l? !*" n'est pas nul pour n infini, la somme des termes qui suivent ui*
terme quelconque n'a pas pour limite zéro, lorsque le rang de ce terme augmente sans limite et la série est évidemment divergente; nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Si (f (n) est une fonction de l'indice n, telle que le produit (f{n)un soit nul pour n. infini, et que de plus des deux expressions
r umf(n) . t ,
et
?(n)um f(n)
la première soit nulle pour n infini, et la seconde positive, la série est divergente.
