LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

5° Si A — a 4- 1 est positif ou nul, la série est divergente. Soit h un nombre entier positif suffisamment grand ; posons

(4) vm = um(n — h), vn+l = un+l(n — h + i), vH+t = u^^[n — h 4-2)...,

on aura ,

vn+, __ i^hh n— A+i /t;"*~' + (A — A4-1) ;^-*-[B-- A (A — i)]n;~~f 4-.. ♦

Si À+ 1 — a est positif, vn augmente avec n lorsque n est suffisamment grand, car le coefficient de n au numérateur est plus grand qu'au dénominateur. Si A4-1 —a est nul,— est encore plus grand que 1, car les coefficients de nx

étant les mêmes, celui de n ""' est plus grand au numérateur si h est supposé suffisamment grand ; on aura donc, dans les deux cas, pour une valeur de n suffisamment grande,

et par suite, en remplaçant vn et vn+% par leurs valeurs, et mettant au lieu de n, /14- 1, n-4- 2f...

on en déduit aisément

(5) M. + «^ + Mw4-...>(«-A)^ (^ + j^— 1^+ ^-i-^ +...),

et comme la série qui figure dans le second membre est divergente, il en est à fortiori de même de la série proposée qui forme le premier.

6° Si A — a 4- 1 est négatif, la série est convergente.

Soit dans ce cas h un nombre positif moindre que a — A — 1, je dis que Ton aura, pour une valeur suffisamment grande de n,

Un n

Cette inégalité revient en effet à

nuH+i

( n — h — 1 ) w, Or on a, d'après l'expression de — >

nun+t

t*" + A it* 4- Bu*-1 -h..

{n-h-i)un hh, , *.,„ x

n^1 + [a-h-i)nÀ +[6 -(* + «)*] » +

et, comme A-a+i+A<o, cette fraction est, pour de grandes valeurs de n* constamment moindre que l'unité. On a d'après cela

et par suite,

Or la somme des termes qui multiplient un dans le second membre peut facilement se calculer. On a pour une valeur quelconque de n

n— h— \ __ n — i (n — A— -i)(n— A) n ~~* A nh '

n —A — r (n — A — \){n — A) (n — A — \)(n — A) — {n — h-hp)

n »(«+i) " " n.[n -h i). ..(n-hp-h i)

__ n — i (n — A — i).. .(/!-— A-j-/y-hi)

La fraction qui forme le second terme du second membre tend vers zéro lorsque p augmente; car, si l'on nomme vp la valeur générale de cette expression, on a

Vp+i n — A •+- p -+- a __ p + ( n — A -4- a ) i', /*-h/>H-2 /> + (n + 2) ?

par suite, la différence désignée plus haut par A — a est négative, et vp tend vers zéro. La série qui figure dans le second membre de (6) est donc convergente, et il est par suite impossible que le premier membre M„ + tt„+i+.... augmente sans limite. La série dont le terme général est un est donc convergente.

Méthode de M. Kummer.

243. M. Kummer a fait connaître une méthode à l'aide de laquelle on peut trèssouvent prononcer sur la convergence des séries à termes positifs. Cette méthode se distingue des règles précédentes par la grande indétermination qu'elle laisse subsister dans le mode d'application, et qui souvent est un avantage pour ceux qui savent habilement en profiter.