LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

à l'unité en valeur absolue; un terme tel que (4) a donc la partie réelle et le coefficient deyJ—\ dans la partie imaginaire moindres tous deux que an — an K. Or la série à termes négatifs dont le terme général est an — a„i,

(a, — «.)-Htf> — a, )-K. .+■[«* — «*-i ) + ..-»

est évidemment convergente et a pour limite — a0; il en est donc, à fortiori, de même des deux séries dont les termes sont moindres en valeur absolue. Le produit de P„ ptr ( i — x) tend donc vers une limite déterminée, et, en excluant le cas où x= i, il en est de même de P„. On peut énoncer la proposition précédente en disant que si les coefficients a0 , a,,...,a„, vont en diminuant et tendent vers zéro, les séries

(5) a, -h ax cos <j> -h a, cos 2©. . . -+- rt, cos n ? -h . • •»

(ti) a.sin ?-t-rt, sin i<f. . . -h rt„sin /*?-*-. . .,

sont convergentes pour toute valeur de l'angle 9, en exceptant toutefois, pour la première, l'hypothèse 9 = 0.

Si l'on suppose 9 =tt, la première de ces séries devient

«a — ax-\-a7 — a3 4- ... »

et l'on retrouve le théorème déjà démontré (246).

Transformation d'Euler.

250. Une série étant donnée, on peut la transformer en une autre, soit par un nouveau mode de groupement des termes, soit au contraire par la décomposition de chaque terme en un nombre fini ou infini de parties, soit enfin par l'addition de termes nouveaux dont l'ensemble se détruit. L'une des transformations les plus célèbres est celle qu'Euler a proposée pour une série ordonnée suivant les puissances d'une variable.

Soit la série

Posons

on aura

Mais on a (225)

— =y- — 2 r3 -+- 3vrf — 4js 4- . . . ± /y**' zp . . . ,

en remplaçant chaque terme de la série (3) par son développement et réunissant, les coefficients de la même puissance de y, on a

S = i/,-f- w,.r-f-(Wi — WiJ.r^-hfWj — 2«1 + «1)f + («< — 3m34-3m, — Wi)j4-H. . • » ou, d'après les formules connues de la théorie des différences,

et comme l'équation {i) donne

h = i(9 4- tf, h A//, -f- ... -f- A"-1 M,

i — .r ( i — xy (i — .r j"

Si Ton suppose x= — r, on a = -> la série S devient

S — tf„ — //, 4- «2 — m3 + m<...,

et sa transformée

S = W0 Mi -f- 7 Atf, — 5 A*W, -K-ç A3«i — •. r.

251 . La transformation précédente est remarquable et souvent utile, comme nom le montrerons, pour le calcul numérique des séries ; mais, avant d'en faire une app^ *"" cation, remarquons bien qu'elle ne serait plus légitime si l'une quelconque d-^^** séries considérées cessait d'être convergente. On comprend difficilement, p-^*-1* exemple, qu'on ait songé a l'appliquer aux séries

et qu'on en ait conclu pour la première la valeur -* et pour l'autre la valeur^*