LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

croyant justifier par là l'usage des séries

dans le cas où œ est égal à l'unité et où elles cessent d'être convergentes. Il est utile cependant d'insister un peu sur ce point. La transformation d'une série divergente, lors même qu'elle donne naissance k une série convergente, doit être considérée comme insignifiante, à moins qu'une nouvelle démonstration ne vienne lui donner un sens; cette démonstration peut quelquefois être faite, parce que la série transformée et la série primitive étant démontrées égales lorsque toutes deux sont convergentes, fournissent deux développements de la même fonction. S'il arrive ensuite que l'une d'elles devienne divergente pour une certaine hypothèse, l'autre demeurant convergente représentera encore la fonction, justifiant en apparence ceux qui prétendraient que l'autre série la représente encore après être devenue divergente, et qui se trouveraient dans le vrai pour avoir commis la double erreur d'accepter une transformation qui n'est plus légitime et une série qui, étant divergente, ne représente plus rien.

Considérons, par exemple, la série

n] ni n<

En posant

elle devient

(3) *r-*-|r*-+- sr*-*-|r7-*- — h ^r, r™ + • • • •

Ainsi qu'on s'en assure aisément, le calcul numérique des premiers termes fait apercevoir la loi, et l'on démontre (*) ensuite qu'en posant

ry2 ni tyh ty*

H, = O, llt = 2, U7 = — , W3 =. -- , W4 ==—,... , M„ = — , • . .

(*) La proposition inverse, qui est équivalente, est plus facile encore à établir. Si Ton se donne les valeurs de A «,, A2 //,,..., A" «,..., on aura, par une formule connue delà théorie des différences,

".+. = «.+«.*«,+ — —-**,+...+— — rz — -1 — ,v«i+...4-a-i/i.

Or, en remplaçant «, et ses différences par les valeurs indiquées, le second membre devient

2*H (i-^-r)n+l (i — rYMl

c'est-à-dire —^ > car cette expression est précisément ce que devient : -- « quand

on y fait jc -■= i .

on a

en supposant x = — i, on a y= » et la série

est par suite transformée en

Or, la première étant divergente et la seconde convergente, il n'y a pas entre elfes d'égalité possible. Cependant la série (4) est, comme nous le verrons, celle qui représente /( i — zx) dans laquelle on suppose x = — i . Les partisans des séries divergentes doivent donc dire, elle est égale à 13; Or la série (5), qui est convergente,

peut s'obtenir en posant y = — - dans le développement de /( ~-^-)f qui est alors

convergent, et elle représente effectivement /3. La transformation d'Euler conduit donc dans ce cas à ce résultat paradoxal, qu'une série divergente peut servir au calcul numérique de la fonction qu'elle devrait représenter si les formules étaient générales.

252. La manière dont nous avons obtenu la formule de transformation d'Euler ne fait nullement voir dans quels cas elle peut être avantageuse, et n'indique pas la limite de Terreur commise lorsqu'on s'arrête à un terme déterminé de la série transformée. Nous allons revenir en conséquence sur cette formule importante, pour en donner une seconde démonstration qui n'ait pas les mêmes inconvénients.

Soit la série

( I ) S = W„ — Ux -h M, U, -h ... -+- Un — «„+, 4~ M,4+, 4" • • ■ ,

dans laquelle w0, w, , . . . , un , sont des nombres positifs décroissants. Soient S la limite de cette série, et sn la somme de ses n premiers termes. Si Ton désigne, connue d'habitude, par Aun la différence £/„+, — un9 on pourra écrire la série sous les deux formes suivantes :

S = S„ — A un — A//;4+, — A U,,^ — . . . ,

S = SH -H Un ■+■ * ««<-. 4- Ak»+, 4- A f//M.j -H . . . ,

la somme S, étant égale à chacune de ces deux expressions, est égale a leur demisomme, et Ton a par conséquent

(3) S=J„-»--M„ ( Af/„— A«/(+, -+- *UH + : ±U„+, 4- ...).