LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 2f>l

et, en remplaçant la somme de chacune des séries inscrites dans une ligne horizontale, par sa valeur connue, on a enfin

Si Ton suppose z = 12, la série qui forme le second membre est très-convergente, et la somme de ses 14 premiers termes donne 0,079957^27; les 11 premiers» termes de la série proposée ont d'ailleurs pour somme i,558o3aa347Q« et la somme totale est, par suite, avec une grande approximation,

Nous verrons plus tard que cette somme est 7p

Nous reviendrons dans un autre chapitre sur les développements analogue? à ceux sur lesquels Stirling fait reposer sa méthode.

Méthode de M. Kummer.

' 255. Il existe une méthode due à M. Kummer, et fort utile souvent pour calculer avec une grande approximation et très-rapidement la limite de la somme des termes d'une série peu convergente à termes positifs. Soit la série convergente

partageons-la en deux parties : .

S, = If, -h W| -h ... -h Un ,

R = i/-+,H-ttIH.»-+-Wi.+3-h

S* étant la somme d'un nombre limité de termes, on le calculera directement. Quant au reste R, nous devons nous borner à avoir sa valeur approchée.

Pour obtenir cette valeur, on détermine deux fonctions du nombre n, 9 (/* • et /(n), assujetties aux conditions suivantes :

i° Le produit y(n)un tend vers zéro lorsque n augmente;

20 /(n) s'approche indéfiniment de l'unité lorsque n augmente;

5° Il existe entre les fonctions 9 et/ la relation

qui a lieu pour toutes les valeurs de n.

Faisons voir d'abord que, ces conditions étant supposées remplies, on peut en déduire une valeur approchée de R : on aura, en changeant dans l'équation (1 ) n en

n 4- r, n 4- a, n 4- 3,..., et chassant les dénominateurs,

/(*) !*„+, = ?( Il) M» — ?(« + l)«.i..,

/( /i 4- k) u^+k+i = <p( /i 4- fr ) Ut+i — y( n 4- A- 4- 1 ) ".-+-*+.,

Kn ajoutant toutes ces équations, on a

(2) /(/0««+.+/(«4-i)«,+,+/(n42)afl+î4...+/(w + fr)ttW4+.-.= ?(»)w..

0r/(n),/(n-hi),/(n + 2)t..M différant par hypothèse fort peu de l'unité, le premier membae diffère fort peu de R, dont la valeur approchée est par conséquent

On peut même remarquer que la formule (2) donne en général deux limites très-rapproché.es entre lesquelles est compris le reste R. En effet, de l'équation

<p(/i)Mn==/(/i)aM+l4-/(n4-i)tfB+,4-. . .

on déduit

Or les fonctions f{n),f(n 4- i),/(n4- 2),..., tendant vers l'unité, il arrivera en général qu'elles seront toutes plus grandes que l'unité et décroissantes, ou toutes moindres que l'unité et croissantes. Dans le premier cas, les fractions qui multiplient !*„+,, uH+2t...9 sont plus grandes que l'unité dans l'équation (a), et moindres qne l'unité dans l'équation (3) : on a donc

l{n)um