z.z + v 5.(s + i)(2 + 2)'r(5-hi)(;-f2)i;-h

3 z. (z +i){z + 2) a.(« + i)(«4-a)(a + 3)"r"(3H-ij(s + 2)(s + 3)(:H-4)

Il réussit dans un grand nombre de cas k atteindre ce but, sans faire connaître toutefois de règle générale qui puisse y conduire. La formule suivante est une des plus remarquables et la seule que nous citerons :

' j;' i , r — * , (2 — ji)(i — n")

Z'+HZ 2(2-|-l) Z.(z-\-l)(z-\-ï) 2.(Z + l)(2 + 2)(2 + 3) '

(3 — n)(a — n)(\ — n) *■ ■h*.(« + i)(«-h2)(* + 3)(j + 4) la série qui forme le second membre étant indéfinie quand n n'est pas entier. La démonstration est d'ailleurs bien facile; en retranchant du premier membre le premier terme du second, puis la somme des deux premiers, celle des trois premiers, on obtient successivement :

z.(z-\9n) 2.(zH-i) z.(z-\-i)(z-+- n)"

z.(z -hn) *.(*-t-i) z.{z-\-i)(z-+-i)'~ z (24- i)(-2 + 2)(^-hn)'

z (z-hn)~ z.(z-hi)~~ z.(z-t-i)(z-t-i)~~~ z.(z-\-i)(z-h?.)(z-\-3)'

"2,(Z-fl)(Z + 2)(z + 3)(Z + «);

et, par suite, l'erreur commise en arrêtant la somme au terme de rang/>, est

et cette erreur tend vers zéro (242); pourvu que z + n soit positif. 254. Supposons que la série à sommer soit

4- 9 io 25 On a, en faisant n = o dans la formule du paragraphe précédent,