LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Choisissons pour o(n) une fonction algébrique de la forme

, a' nP~l -h a" nP-2 -+- . . m-\-aM

La fonction, développée, par la division, suivant les puissances descendantes de n. donnera pour y{n) une série de la forme

c" cw cir cy

(4) f(n) = cn + c'-h — -+- — -f- -7 + i+--- • T n n* nl n4

Regardons c, c', c",..., comme connus, l'équation (4) fera connaître f[n) : on a, en effet,

Supposons que le rapport — — soit exprimé par une série de la forme

m«+i n ri* n'

On aura, en changeant n en n + 1 dans (4),

r" c* clv cx

mais on a (225)

et, par suite,

En ayant égard aux équations (4), (6) et (7), la formule (5) devient

f[n) = r(*'— 1)4- - [c/Ô'-hfô"1-4-~[c'/(ô,4-i)-4-c'ô,,-hrewl n L J n7 L J

-h -3 [<?"('/4- a) -h *.•"(*"— i)4-6-'ô"'4-cÔ'r)]

^-Jrlv^'-h3)-hr,/,(Ô//--3)-+-e/,(ew-hi)H-c-/ô,T-hre']

4- -s[rT(Ô/4-4)-hr'v(Ô,/— 6)4-c?///(ô"'-h4)4-c',(ô«T — 1)4- <.'«*4-r*"]

4--i[c»'(Ô'4-5)4-'.-v(ô"-- io)-+-clv(Ô^H-io)-f-c^(Ôir— S^c^OM-iH-c'^'-hcO*1']

+ -,[cT"(6'-h6)4-cr,( Ô"— 1 5 ) 4- c* ( Ô"— 20 ) -h c?,T ( ÔIT— 1 5 )

-4- f" ( ôT-h 6 ) -f- <.•"( Ô" 4- 1 )4- c' Ô™ 4- cô'"1 ] 4- ^ IV"' ( e'4- 7 ) 4- t'™( ©" — 21 )4- cv,( e*4- 35)4- cv( «"— 35)

Or, pour une valeur infinie de n, on doit avoir/(n) = 1 ; il faut donc que le ternie constant de la valeur de fin) soit égal à 4- 1, et par suite

de plus, comme on connaît 5, 5', G",..., puisque le rapport -— est connu en fonc-

tion de n, on pourra déterminer c, c\ c",.--, de manière à faire évanouir le plus de termes possible de l'expression f(n)9 afin que la différence /(n) — 1 soit aussi petite que possible. Ayant déterminé de cette manière zp 4- 1 coefficients de la série

on formera la fraction

a' n?-x 4- a" n?-*->r a"' nf-%-h. . .4- n^

n? 4- b' nP~x 4- . . 4- bip)

dont le développement en série donnera l'expression (4); il suffira, pour ce! d'égaler les deux expressions et d'identifier les deux membres de l'équatf après avoir chassé le dénominateur et égalé à zéro les coefficients des puissar négatives de n dans le second membre, en nombre assez grand pour déter nevb", b" If.

256. Appliquons la méthode précédente à un exemple. Soit la série

Si Ton pose n = 10, on a par calcul direct

d'ailleurs

donc la somme de la série est approximativement

En calculant <p(n), on trouve

donc

et la seconde limite, qui comprend entre elle et S la valeur de la série, sera

io4/(io) ' '

la moyenne arithmétique entre ces deux nombres est

Nous verrons plus tard que la série considérée est égale à — ; or on a

1 . tt' = i >98859 949°7 7e535 4 » l\ « » 7r* = 97 ,40909 1 o34o 02437 233 , et

en sorte que la valeur trouvée a i3 chiffres exacts.

257. On peut se demander combien il faudrait calculer de termes pour avoir une approximation aussi grande. Soit x le nombre des termes, le reste négligé en

prenant x termes doit être moindre que — ^ Or Terreur est approximativement

?-^, et Ton trouve que cette fraction ne devient inférieure à -^ que pour

une valeur de x supérieure à 255oo.

Nous avons donc .obtenu avec dix termes un résultat qui en exigerait a55oo par calcul direct.