LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 2fi

Séries ordonnées suivant les puissances d'une variable.

258. On fait un fréquent usage de séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une lettre qui reste indéterminée. Soit

(A) a0-f- alx-+-aIx'2-+-. . .-h aHx"-+~. . .

une telle série.

L'étude de la convergence des séries de cette forme conduit au théorème suivant, qui est remarquable et important :

Si dans la série (A) les coefficients a0, a,,... an sont des constantes données et x une variable pouvant recevoir toutes les valeurs réelles ou imaginaires, la série étant convergente pour une valeur x = xt de la variable, Test à fortiori pour toute valeur de x dont le module est inférieur à celui de x{ .

La série étant, en effet, convergente pour x = xif cela exige évidemment que le terme de rang n

anxx

tende vers zéro lorsque n augmente. D'après cela, soit M le plus grand module des termes de la série

Si Ton substitue à x une valeur nouvelle x2, la série deviendra que Ton peut écrire

(3) .,+.,„ (s)+a,,.(f|)v...+<liX:(s)v....

Soit rie module du rapport — * les termes de la série (3) ont respectivement des modules moindres que ceux de la série à termes positifs

M + Mr+Mr'+Mr'-f. . ■+Mr, + . ..,

qui évidemment est convergente; car c'est une progression décroissante. La série (3) est donc à fortiori convergente.

La démonstration précédente, sans qu'il y ait rien à y changer, prouve le théorème suivant :

Si pour une valeur x = xK delà lettre ordonnatrice les termes de la série

a9-hatx -+-a:X'-\-. . .-+- aHx"-\-. . .

ont des modules inférieurs à un nombre fixe M, pour toute valeur de x dont le module

est moindre que celui de xK , la série est convergente.

259. Si une série ordonnée suivant les puissances de x est divergente pour une valeur xK de la variable x> elle est a fortiori divergente lorsqu'on donne à x une valeur x2 de module supérieur à celui de x%.

Si, en effet, pour x = x2 la série était convergente, elle le serait (258) pour la valeur x = xK dont le module est moindre.

Ainsi donc les valeurs de x qui rendent convergente une série de la forme considérée sont toujours celles dont le module est inférieur k une certaine limite.

Si l'on considère, par exemple, la série

(i) i-H.rH-ar'-h.r8-*-. . . + *■+. . .,

elle est convergente pour toutes les valeurs de x dont le module est inférieur à l'unité et divergente pour celles dont le module est plus grand que l'unité.

En général, il y a doute pour les valeurs de x dont le module est précisément égal à la limite. Dans le cas de la progression ( i ), si l'on donne à x une valeur dont le module soit l'unité

x = cos tf -+- ^ — i sin ?, la série devient

i-t-cos<pH-cos2f -+-cos3f-K..-f-cos»f-i-...+ v^ — > (sin?-t-sin 2?-K . -h sin »?-+-...);

elle n'est pas convergente, car les termes de la partie réelle et ceux de la partie imaginaire ne tendent pas vers zéro avec *fr

260. Un grand nombre de théorèmes relatifs aux expressions imaginaires s'expriment ou se démontrent avec plus de simplicité ou d'élégance à l'aide d'un mode de représentation dont nous ferons un fréquent usage. L'expression a -h b\j— i est considérée comme correspondant à un point qui a sur un plan, par rapport à des axes de coordonnées rectangulaires, les coordonnées a et b. La distance de ce point a l'origine est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle qu'elle forme avec l'axe des x est V argument.

La somme de deux expressions imaginaires correspondant respectivement aux points B et C est évidemment représentée par l'extrémité d'une droite menée par l'un des points, parallèle et égale au rayon vecteur qui réunit l'autre à l'origine des coordonnées. La seule inspection de la figure permet d'en conclure que le module de la somme de deux expressions imaginaires est moindre que la somme des modules, et ce théorème s'étend par suite évidemment à un nombre quelconque d'expressions imaginaires.