LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Lorsqu'une série

Un -

dont tous les termes sont réels et fonctions dune même variable <r, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites x{ et x2, et devient discontinue pour une valeur particulière x = a, de telle sorte que pour x = a — e et x = a -h e la différence des valeurs qu'elle acquiert reste finie quand i est infiniment petit, la série des dérivées

du0 ~dx~

dux dx

dun dx

est divergente pour x = a.

Si l'on considère, en effet, l'équation

y = u9-t-ul-h* . .-\-uH-\-, . .,

y est déterminé pour chaque valeur de xt et, puisqu'il y a discontinuité pour x = a, la courbe dont les points ont x pour abscisse et y pour ordonnée se compose de deux

branches distinctes, telles que AP et QB. Si Ton prend n termes seulement dans le second membre, la courbe dont les points ont pour ordonnées la somme de ces n termes représentera nécessairement une ligne continue qui, par sa nature, n'est coupée qu'en un point par chaque parallèle à l'axe des/. Or une telle ligne ne peut avoir pour limite la courbe composée des deux arcs AP et QB sans s'approcher en même temps de la ligne droite PQ (fui les réunit; le coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire

du9 du y duH

dx dx dx

doit donc devenir infini pour x = a.

265. La remarque précédente, faite explicitement pour la première fois par M. Duhamel, permet de démontrer simplement un théorème dû à Abel, auquel les progrès de la science ont donné une importance capitale.

Une série de la forme

a9 + atx + aax2-h. . .-+- aHx*-{-.

est continue pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de # qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence. Posons, en effet,

(i) ar = p(cos?-h ^ — i sin?),

la série devient

tfo-4-'*i p (cos<p-hv^ — i sin<p)-Hrtap5(cos2<p-h^ — i sin a?)-K - •

-\-aHpn(cosny-h^ — i sinn?) -K •••

Cette série est convergente pour toutes les valeurs de p inférieures au rayon R du cercle de convergence. On peut considérer ses termes» soit comme fonctions de la variable p9 soit comme fonctions de la variable <p, et, en appliquant le théorème précédent, on verra que la somme est une fonction continue de p, tant que la série

ax (cos<p-hv^ — i sin<p)-h2aap(cos2?4-V' — l sin 2^)4-.. .

H- naHp*-1 (cosny-h \l — 1 sin n? )-K. .

ne devient pas infinie, mais cette série ne diffère de celle que forment pour la même valeur de x les dérivées des termes de ( 1 ) , que par le facteur ( cos? -h sf^l sin 9); elle est donc convergente (262) pour les valeurs correspondantes aux points intérieurs au cercle de convergence de (1).

La somme de (2) est de même fonction continue de 9, tant que la série

ax p ( — sin ? -h v^ — 1 cos ?) -h 2 a, p* ( — sin 2 <j> 4- >l — 1 cos 2<p ) 4- . . .

-\-namp*{— sinn«p-h v^ — ' eos/t<p)-K • •

reste convergente; mais chaque terme de la série (4) est égal au terme correspondant de la série (3) multiplié par p ^— 1; elles sont donc convergentes en même temps, et la série (1) est fonction continue des deux variables p et 9 pour les valeurs de x qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence.

266. Lorsque les termes d'une série convergente sont fonctions d'une variable x, et que leurs dérivées forment elles-mêmes une série convergente, la fonction représentée par la série est, d'après ce qu'on vient de dire, fonction continue de la variable; mais il ne faut pas affirmer que toutes les fois qu'une fonction est développée en série convergente, les dérivées de ses termes par rapport à la variable dont ils dépendent forment le développement en série de la dérivée de cette fonction.

Soit, par exemple, la série

cos 2 x cos 3 x cos 4 x