LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

qui évidemment est convergente pour toute valeur réelle de x; si la proposition énoncée était exacte, non-seulement les dérivées de ses termes, mais les secondes, les troisièmes dérivées, formeraient des séries convergentes représentant les dérivées successives de la fonction représentée par la série proposée. Or les secondes dérivées forment la série

— cos x — cos 7.x — cos 3a: — . . . — cos«.r,

qui évidemment n'est pas convergente, puisque ses termes ne tendent pas vers zéro.

267. La remarque précédente montre clairement que le théorème suivant, quoiqu'il soit exact, ne peut être admis sans démonstration.

Si une série ordonnée suivant les puissances d'une variable x est convergente, et par conséquent continue pour les valeurs de cette variable dont le module est inférieur à un nombre donné R, les dérivées de ses termes forment pour les mêmes valeurs de la variable une série convergente dont la somme est la dérivée de la première.

La première partie de ce théorème résulte de ce qui précède. Bornons-nous donc à prouver que la série

étant convergente pour les valeurs de x dont le module est moindre que R, elle a pour dérivée la série

«,-+- ia2x -h. . .-4- namx*~l-+-. . .,

qui, comme on l'a vu (262), est elle-même convergente.

Désignons, en effet, par <p{x) la série (i), on aura, en y remplaçant x par x + h, et supposant h tellement choisi, que le module de {x -+- h) soit moindre que R, el que par conséquent la série reste convergente,

(*) y(x -h h) = at,-h at(x -f- h) -h a,[x H- // )2 -+-. . .-h aH{x -h A)" H-

Réunissons dans le second membre de cette équation tous les termes affectés d'une même puissance de h ; il prendra la forme

(3) p1//hpv//i hp3/|lH...H pw/4«.+-.é.

chacun des coefficients P,, P2 P„ étant une série bien facile à former. Plf

par exemple, représente

«,-h "?",.* -f- 3^xvH- . .-\-nanx*-'-\-. . .,

c'est-k-dire la série formée par les dérivées des termes de (i). P2 est la série formée

par les secondes dérivées des mêmes termes, respectivement divisées par a. P3 est celle des troisièmes dérivées divisées par 1.2. 3, et ainsi de suite. Toutes ces séries sont convergentes (262) ; mais il n'en faut pas moins démontrer qu'en changeant Tordre des termes on n'a pas altéré la limite de leur somme, et que la série (3) représente tp(x -t-h). Pour cela, considérons la somme des n premiers termes de la série (3), et retranchons-en la somme des n premiers termes du développement de tf (x -h h) : la différence A est une série composée de tous les termes provenant des puissances de {x -+- h) supérieures à la niime9 et qu'il a fallu faire entrer dans les n premiers termes de la série (3). Or je dis que la somme de ces termes a pour limite zéro. Supposons en effet que, dans la série (2) on remplace à la foisa\ h, et les coefficients a0, a,,..., a*,... par leurs modules X, H, À0, A«..., A„. La série restera convergente pourvu que Xh-H, moindre (260) que le module de x-h h, soit inférieur à R. Mais, après ces diverses substitutions, on peut ordonner suivant les puissances de H, sans crainte d'altérer la somme de la série, car tous les termes que l'on intervertit sont essentiellement positifs. La différence entre la somme des n premiers termes dans les séries qui remplacent ainsi ( 2) et (3) aura donc pour limite zéro. Or cette différence est la somme des modules des termes qui composent la différence entre les n premiers termes de (2) et les n premiers termes de (3); cette différence tend donc à fortiori vers zéro, puisque le module d'une somme est moindre (260) que la somme des modules; la série (3) représente donc f(x+h), et l'on a,

o(x + h) - <?(x) = P, h 4- P,/ia -h . . . + P„A"-f- . . . .

Cette série étant convergente pour de petites valeurs de h9 est (265) une fonction continue de cette variable, et l'on a

?("+/,/;-?(") = Pl+P,A + ...+ P.,/r + .... en passant a la limite, h tendant vers zéro,

comme on voulait le prouver.