I .2.3. . . f) Axf

en lui assignant pour limite

hP (/Py

].>..$.. .p dxP

On suppose implicitement que {p — 1) Aa? tende vers zéro, c'est-à-dire que p ne soit pas comparable à n; or le nombre des termes pour lesquels cette condition n'est pas remplie augmente indéfiniment avec n.

La démonstration de Taylor peut cependant être complétée et conduire à une preuve rigoureuse du tbéorème; mais il est beaucoup plus simple d'adopter une marche toute différente, et qui conduit immédiatement à une expression de l'erreur commise lorsque l'on arrête la série après l'un quelconque de ses termes.

Expression du reste de la série.

273. Démontrons d'abord un lemme fort simple dont nous avons à faire usage.

Lorsqu'une fonction continue (p(x) est nulle pour deux valeurs a et b de la variable dont elle dépend, la dérivée tf'[x) de cette fonction, si elle est elle-même continue, devient nulle pour une valeur de x comprise entre a et b.

Si, en effet, la dérivée 9' (x) ne s'annulait pas, elle aurait toujours le même signe

entre tes limites a et b, la fonction y(x) serait, par conséquent, constamment croissante ou constamment décroissante lorsque x varierait de la valeur a à la valeur 6, et ne pourrait pas, par conséquent, être nulle aux deux limites. Cela posé, considérons la formule

(r ?;x)=?lJ-) + — ^i; + fX"^\vi+--+ ix — *)" H(X)^R>

dans laquelle X et x désignent deux nombres donnés quelconques.

Cherchons à déterminer l'expression du nombre R qui rend cette formule exacte; pour cela, posons

P étant un nombre inconnu qu'il s'agit de déterminer. Si l'on remplace x par une lettre variable z susceptible de prendre toutes les valeurs, la différence des deux membres de ( i ) deviendra

et cette différence est nulle par hypothèse quand on suppose z = x; elle est évidemment nulle aussi, d'après sa forme même, pour z = X, et, par conséquent, la dérivée par rapport à z est nulle pour une certaine valeur de z comprise entre * et X. Or cette dérivée, si l'on supprime les termes qui se détruisent, se réduit à

KG- WriiH*.

La valeur de z pour laquelle elle s'annule, étant comprise entre x et X, peut è <Je représentée par x ■+- 6 (X — x), 0 étant moindre que l'unité. On a donc

P = *■+'[* -M (X—r)], et, par suite,

i .2.3. . . (/i-hi) Y L v n

Si l'on pose X — x = h, et que l'on remplace R par cette valeur dans l'éqit- ation (i), on a enfin

Dans cette formule, /i est arbitraire, si on lui attribue une valeur indéfinime/z' croissante, le second membre, abstraction faite du dernier terme, devient la série