LIVRE SECOND. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

trouvée par Taylor, qui est exacte, par conséquent, toutes les fois que le dernier

terme

f+l(x-hQh)

l.2.3...pl-f-l)1

tend vers zéro lorsque n augmente.

Le reste renfermant dans son expression un nombre indéterminé 0, il sera quelquefois difficile de décider s'il tend ou non vers zéro. On peut remarquer toutefois

Une le facteur 5 — ; — - — - a toujours une limite nulle, car, en y changeant n en

m-i, il se multiplie par » qui, quel que soit A, tend vers zéro. Quant à

l'autre facteur, cpn+% (œ -4- Oh), il est en général fort compliqué, et la présence du nombre indéterminé 0 en rend souvent l'étude difficile; nous y reviendrons dans plusieurs cas particuliers.

Seconde forme du reste.

274. L'expression que nous venons de trouver pour le reste est due à Lagrange ; on peut, en modifiant légèrement la démonstration, lui donner une forme différente et quelquefois préférable.

Si dans l'équation

on pose

P étant un nombre inconnu tel que l'équation devienne exacte, il est évident que la différence

T(X)-y(*)MX-*)t'(*)-(-^^

est nulle quand on suppose z = x, et aussi quand z = X ; la dérivée par rapport à z de cette expression, c'est-à-dire

i .2.3. . .n est donc nulle pour une valeur de z comprise entre X et x, c'est-à-**™ nour

z = ar-4-0(X — x),

0 étant un nombre convenablement choisi entre zéro et l'unité, et l'on a, par cod— ^. séquent,

et, par suite,

(2) R = ^l^(1 o).?^[Jr + 0(X-jr)];

en posant X — a? = A, l'équation (i) devient alors

Cette seconde forme du reste, donnée par Cauchy, est quelquefois plus avantageuse que la précédente.

Troisième forme du reste.

275. En suivant la même marche que dans les deux démonstrations précédentes^ après avoir posé

posons Ul[i***<*a< K =. (*-*) J( *t,.»«**

P étant un nombre inconnu. La fonction de z9

. t(X)-n;)HX-%'W-^f(:)-...-|^f(^)-|X~+fp,

évidemment nulle quand z = X, l'est aussi quand 2 = a?, et la dérivée de cette eig*"^ ~" pression par rapport à s, c'est-à-dire

est nulle, par conséquent, pour une valeur de z comprise entre x et X, c'est-à-dir pour

6 étant un nombre plus petit que l'unité. On en conclut