LIVRE SECOND. DÉVELOPPEMENTS EN .SÉRIE. 28N
et par conséquent
Si Ton pose X — a* = A, la formule (i) devient >&***, afr-tn*'*? tu <>,« ';< ; »■ /,///.»«.»«.
/»2 A« hm+ï(i Q)*+P
T* / T% / tv ; 1.2 T V l.2...WT y I.2...H.(/H-l) T
Cette troisième forme du reste a été trouvée par M. Schlomilch et par M. Roche.
accroissement infiniment petit d'une fonction.
276. Lorsque, dans le développement de 9(074- A), on suppose h infiniment petit» les termes successifs du développement deviennent des infiniment petits dont Tordre va en augmentant, et quel que soit celui auquel on s'arrête, Terreur commise est un infiniment petit d'ordre supérieur au dernier des termes conservés. Cette proposition importante se déduit aiçément de la considération de Tune quelconque des formes trouvées pour le reste. Si Ton pose, en effet,
,(« + h) = i(x) -f- A?' (x) -f- -^ ?*v»-f-. • • -h 77^^ î'(*)t Terreur commise est (273)
c'est-k-dire un infiniment petit d'ordre 71 -h 1, lorsque h est infiniment petit du premier ordre, et la proposition ne peut être en défaut que dans le cas exceptionnel où Ton a (p*4"1 (x) = 00 . Si Ton représente h par dx et 9 {x) par y, la formule de Taylor peut s'écrire de la manière suivante :
elle est souvent employée sous cette forme, et Ton doit se rappeler que, dx étant infiniment petit, Terreur commise lorsqu'on arrête le développement est un infini ment petit d'ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.
Remarque sur la série de Taylor,
277. La formule de Taylor ainsi bornée au cas d'un accroissement infiniment petit de la variable équivaut à une série de théorèmes, tous dignes de remarque, et
qui au fond n'expriment rien autre chose que la continuité de la fonction et de ses
dérivées :
i° Quelle que soit la fonction 9 (a?), la différence 9 (x -h h) — y{x)9 où h est infiniment petit, peut être considérée comme proportionnelle à A et mise sous la forme hy' (x)9 Terreur commise étant infiniment petite par rapport à la différence même que Ton évalue.
20 L'excès de la différence 9 (x -+- h) — 9(07) sur la valeur approchée htf' ix) peut être considéré comme proportionnel à à,j , et la différence
hr
<p(x-\-h) — 9 (x) — A 9' (x) être mise sous la forme — ?"(&)* l'erreur commise
étant infiniment petite par rapport à la quantité même que l'on évalue.
3° L'erreur commise dans* cette nouvelle approximation peut être considérée .—
comme proportionnelle à. A3, et la différence
? (x -h // ) — ? ( X ) - Il ?' ( x ) — — *" ( x ) ,
mise sous la forme — l—z<pm(x)9 Terreur commise étant infiniment petite par rap
port à la quantité évaluée.
Ainsi de suite indéfiniment.
La fonction étant entièrement arbitraire, on peut évidemment la choisir de ma -*■ — nière à mettre les théorèmes précédents en défaut pour une valeur désignée de xmais cela ne peut avoir lieu que pour des valeurs singulières de la variable, et dans *^+* ce cas Tune des dérivées devient infinie.
La démonstration directe des propositions précédentes est facile. Posons d'abora^ — d
F (a?, h) étant (276), pour une valeur infiniment petite de A, infiniment petit par rap^i^C "P" port k hy'(x). Prenons les dérivées par rapport à h des deux membres de cett» J* -^*le équation, nous aurons
dF(xJi)
y'(x+li) — <f'(x) =
dh
Mais, en vertu du principe démontré pour une fonction quelconque (45) d '' 9' {x-hh) — 9' [x) peut être réduit à A 9" (x) quand on néglige une partie infiniment*7 D petite de sa valeur.
Si donc on construit la droite dont l'ordonnée est hy" [x)t h étant l'abscisse, lsfonction F (xf h) est Taire comprise entre Taxe des X et une courbe dont l'ordonnée diffère de celle de cette droite d'une portion infiniment petite de sa valeur-"
et par conséquent, F (xt h) est égal à — 9" (x), en négligeant une portion infini-
