Si dans la formule

on suppose x = 0, puis que l'on remplace la lettre h par la lettre x, on aura

et la série indéfinie ordonnée suivant les puissances de x, que Ton obtient en faisant croître n indéfiniment, a pour limite ff(x)9 toutes les fois que le reste tend vers zéro.

Cette série est désignée sous le nom de série de Maclaurin9' quoiqu'elle ne soit qu'un cas particulier de celle de Taylor, et que Maclaurin, en la faisant connaître dans son Traité des Fluxions, ajoute immédiatement : This theorem was given by Taylor.

279. Il est aisé de voir que le seul développement possible d'une fonction en série ordonnée suivant les puissances de la variable est celui qui résulte du théorème de

Maclaurin. Soit, en effet,

f{x)= AH- \tx-h\2x2-h. ..-h A.-r'H-. . .

un développement qui, comme on sait (258), est convergent pour les valeurs de a: inférieures à une certaine limite, et dont on obtient les dérivées successives en prenant celles (267) de ses différents termes. D'après cela, si Ton forme

9' fa?), 9" (#),..., 9n(#), et que Ton y suppose ensuite x = o, on aura évidemment

\ = <p(o), A, = ?'(o), 2A,= ?"(o), '2.3.A, = y'"(o),..., i.a.3...«A. = ^(o)t et les coefficients sont, par conséquent, ceux de la série de Maclaurin.

Quelques développements en série.

280. Le théorème de Taylor est applicable à toutes les fonctions, et le nombre des séries que Ton en peut déduire est illimité. Nous nous bornerons à l'appliquer ici à la démonstration des développements les plus célèbres et les plus souvent, employés.

Développement de a*. — La formule

f(*)=t(o)4-;rç'(o) + -^f"(o)-K..-+- -*— ;; »" (o) -h - *? * <■*-' ( ïx)

\ * 2» 1 • X • • • r « I • JL • • • l r C ^y- I J

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