Développement de (arcsina?)2. — On a trouvé

rf*.(arcsin;r)2 , ,

dx'* ** \ >>

rf2iH"'.(arc sinx)2 -, = 0: *

dx2n+l

on en conclut

arcsinx )2=x2-\--= h -5-^ -5- + ^4— -7- -H

Il est bien entendu que dans cette formule, comme dans la précédente, arc sin x désigne le plus petit arc dont le sinus est x, celui qui s'annule pour x = o et reste

compris entre ^-^ et — *• r 2 2

304. Développement de x cot x. — D'après les valeurs trouvées pour lewiérivées de a? cota?, quand on y suppose x = o, le développement de x cota? est

X7 XK IX9 X* IX"

X COlX = I x -77:

La loi des coefficients résulte des formules (147) qui permettent de les calculer successivement; mais leur expression se rattache, par une loi que nous ferons connaître, à une suite de nombres fort importants qui sont connus sous le nom de nombres de BernouUi.

305. Développement de -^—- En se servant des résultats donnés (150), on I. 39

■ ta*

trouve immédiatement

x x i x2 i xs i xK

Les coefficients de — > ^0-7» o-t-f-f'*--' sonl nommés les nombres de

Hernoulli; nous les étudierons dans un chapitre spécial. En les désignant par

B,, B.>, B8,..., ou a

•* — , * | B ' j» Ba ji | ]*' r«

Nous nous bornerons à remarquer que le développement de -xx- permet d'eflectuer celui de x et celui de —^ : on a en effet