LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

On en déduira

lang.r = A, (2- — i)x -f- AJ?.1 — 1) jc3-+- Ati(28 — i).rs-}-. • • ,

eoséc x = - -h A,(->. — 1 ) - -+- A, (?/ — 1 ) ~ ■+- A6(2&— 1) f- -h. . . .

X 'X O ôl

On a enfin

r/l sinx

— 5 =cotx.

La fonction 1 étant paire et nulle pour x = o, on peut poser

on aura, en prenant les dérivées des deux membres,

coix =iC7x-)-iCix*-h6C9xh-)-. . .,

et en remplaçant cota; par la série qui le représente, on en déduit r A. r A<

et, par conséquent,

smr A, A* A,

Si Ton remet des nombres à la place des coefficients A2, A4, A6,..., on trouve

. sin x 1 .r' \ xK 1 xG 1 x* 2 xi9

Quelques applications du théorème de Taylor.

307. L'application du théorème de Taylor au développement d'une fonction exige le calcul des dérivées de cette fonction; mais il arrive quelquefois que des considérations particulières permettant de faire directement le développement, le théorème de Taylor donne au contraire le moyen de calculer des dérivées d'ordre élevé dont la formation directe serait plus difficile. L'exemple suivant, emprunté au'géomètre anglais Murphy, est très-remarquable.

Considérons l'expression

,IH V u „u f , ï'ilxY- aM(\x)" , "1

x ^'-= x- tfAÎJr = x* i-f-xUH - 4-. • .H — -h- • • •

Le coefficient de aw est dans le développement, — - — -» et par suite dans le déve-

dnxn~*~a '

loppement de — t- — Le coefficient de a" est évidemment

i dH.x*(\x)H

i . i . . . n dxn or on a

mais cette expression est égale au produit de la série

jr« = €f*lx=i-h«U+ — (1*)M--^(1*)3-K..H (lx)"-K..,

par le polynôme

où Sp est la somme des produits/? &p des n premiers nombres entiers. En formant le produit par la méthode ordinaire de multiplication, on voit que le coefficient de a" est

,+8,1* + — (brj»-K..H — (1*)".

Telle est donc la valeur de — J *' > et il serait beaucoup moins simple de IV tenir directement.

308. Nous ferons connaître enfin une formule élégante à laquelle conduit l* théorème de Taylor pour exprimer la dérivée d'ordre quelconque d'une fonction ^ de fonction. Soit y = y(u) une telle fonction, u étant une fonction donnée de &&\ si Ton attribue à a; un accroissement h, l'accroissement correspondant de y e-**t représenté, d'après la formule de Taylor, par

rfr, d*r Ji> dny A»

J dx dx7 1.2 dxn i . a . . . n

Soit k l'accroissement correspondant dcf u?f l'accroissement de y, c'est-à-dire *^e <p{u)9 est représenté aussi par

du au2 1.2 au" 1.2...»

On a d'ailleurs, en appliquant toujours le même théorème,

. du , d2u fr dnu h*

dx dx2 1 .2 '" dx* I.2.../1