LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. . MU

In remplaçant k par cette valeur dans la série précédente, et égalant les deux

-valeurs trouvées pour Ay, on a

(duh d^u J^ y

V* dny A" V* dry \dx dx2 1.2 " /

2ddx" i .2.. .n ~~2ddUp i .2. . . p

Si, dans le second membre, on développe la puissance pième d'après la formule

connue pour la puissance d'un polynôme, on a enfin, en égalant les coefficients de

A" dans les deux membres,

'd*u\K / dnlu \h*

dx*

d'y yr* o dPflu) \dx I Vi.a/ \ 1.2. 3.. .m/

dx* *+ du? 1.2... Ai 1.2... ht 1.2.3... hm

h{, A2,..., hm devant prendre toutes les valeurs telles que

A1-f-2A, + ...-f/n/jJI=rt, etp étant égal à A, -h h2 -+-...-4- hm.

Si, dans cette formule, on suppose u = x2, on aura -7- = *oc9 -7-7 = 2, et les

nuie. on suDDOse u = x~. on aura

dérivées suivantes étant nulles devront avoir pour exposant zéro; la formule se réduit alors à

m Dans cette sommation h% est arbitraire, hK est égal à n— 2h2, etpk ht -h A2, c'està-dire à/i — ht, la sommation devra s'étendre à toutes les valeurs de fi2 inférieures

EXERCICES

Si l'on pose, comme le fait Gauss dans un de ses Mémoires,

r\*,?,y,x} i-t^ ^..^ Iea#7-7 + 1 -t" ,.a.3.7.(7-hi)(7 + a)