PRÉFACE

La découverte du Calcul infinitésimal a été pour la science mathématique le plus grand progrès qu'elle ait jamais fait et l'occasion des applications les plus variées et les plus inattendues. Les contemporains de Leihnitz et de Newton puisèrent dans leur exemple et dans l'étude de leurs méthodes la hardiesse d'aborder un grand nombre de questions qu'ils auraient naguère considérées comme insolubles, et le moyen de les résoudre facilement. Les premiers succès furent tels, que l'on put supposer toutes les difficultés de la science surmontées à l'avance et croire que les géomètres, sans être distraits plus longtemps par l'élaboration des mathématiques pures, pourraient à l'avenir se conformer au vœu de Leibnitz et tournçr exclusivement leurs méditations vers l'étude des lois naturelles. Mais cette illusion ne fut pas de longue durée; avec des méthodes plus puissantes on aborda des problèmes plus difficiles, qui, malgré la fécondité des nouveaux principes, demandaient des efforts d'invention sans cesse renouvelés. Le champ des découvertes à faire, contemplé d'une plus grande hauteur, n'en parut que plus vaste, et les régions nouvelles que l'on put entrevoir, s'étendirent, comme il arrive toujours, limitées seulement par le génie de ceux qui tentèrent de les explorer.

Les problèmes auxquels le Calcul différentiel doit son origine étaient loin cependant d'être nouveaux. Les grandes découvertes surgissent rarement, on le sait, sans avoir été préparées. L'idée la plus neuve naît souvent d'une idée plus ancienne dont Fauteur lui-même n'a pas aperçu les conséquences, très-apparentes pourtant quand on les connaît à l'avance. Les principes du Calcul différentiel n'échappent pas à cette loi : ils sont en effet tellement simples, qu'ils semblent s'établir d'eux-mêmes et qu'on a besoin de les voir si l. a

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féconds pour admirer le génie de ceux qui les ont énoncés les premiers en en démontrant l'importance. Bien des auteurs plus anciens avaient employé, dans des cas particuliers, la méthode même à la découverte de laquelle devait s'attacher tant de gloire; ils se partagent l'honneur d'avoir posé les bases de l'édifice et contribué à l'accomplissement de ce grand ouvrage. Mais ce n'est pas notre intention de parcouru* ici l'histoire des mathématiques pour y suivre cette trace que Leibnitz lui-même fait remonter jusqu'à Arehiinède (*) . Contentons-nous de dire, en ce moment, que la recherche des tangentes et celle des maxima et minima avaient souvent occupé les géomètres, et que l'on connaissait depuis longtemps le lien qui les unit, lorsque Leibnitz publia en 1 684, dans les dcta Eruditorum de Leipzig, une Note de six pages intitulée: Nova met hodus pro maximis etminimis, itemque tangentibus, quœ necfractas nec irralionales quantitates moratur, et singularepro Mis calculi gênas. Voilà certes un titre bien modeste ; on pourrait croire, en le lisant, que, la nouvelle méthode dispensant de chasser les dénominateurs et les radicaux, l'abréviation qui en résulte est son principal avantage : quoique les dernières lignes de l'article promettent des conséquences d'un ordre plus élevé, Leibnitz, en effet, ne semble pas savoir qu'il vient de révéler une des théories les plus déliées et les plus fécondes auxquelles l'esprit humain puisse atteindre.

Cette première Note expose, en leur imprimant le caractère de règles générales, des méthodes qui, appliquées à un cas simple, auraient différé fort peu de ce qu'on connaissait. Fermât dans la Théorie des maxima et minima, Barrow dans ses Lectiones geometricœ, Sluze enfin dans les Transactions philosophiques , avaient employé des principes analogues, et, sans pressentir la suite admirable de leurs conséquences, les esprits pénétrants en avaient déjà compris l'importance. Pascal, écrivant en effet à Sluze en 1 658, lui parlait des merveilles de la nouvelle analyse, et il semblait annoncer les théories nouvelles lorsqu'il disait : « Il y a des propriétés communes à toutes ces » choses dont la connaissance ouvre l'esprit aux plus grandes merveilles de » la nature : la principale comprend les deux infinités qui se rencontrent » dans tout, l'unç, de grandeur, l'autre de petitesse. »

( * ) Quod calculum diffère ntialcm attinet, fateor multa ei esse communia cum Us quœ et tibi et Fcrmatio aliisque, imojam ipsi Archimedi erant explorata. (Lettre de Leibnitz à Wallis, 29 décembre 1698.)

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Il est donc tout naturel que l'effet si profond de la publication de Leibnitz n'ait pas été immédiat, et Ton ne s'étonnera pas que l'un des plus grands esprits de cette époque et de tous les temps, Huyghcns, lui écrivît en 1 690, c'est-à-dire six ans après la publication de la Note des Acta : « J'ai eu de temps en temps, quelque chose de votre nouveau calcul algébraïque dans les Actes de Leipzig; mais, y trouvant de l'obscurité, je ne l'ai pas assez étudié pour l'entendre, comme aussi que je crois avoir quelque méthode équivalente, tant pour trouver les tangentes des lignes courbes oii les règles ordinaires ne servent pas, ou très-difficilement, que pour plusieurs autres recherches. »

Deux mois après, il écrivait de nouveau : « J'ai tâché depuis ma dernière lettre d'entendre votre Calculas differentialis , et j'ai tant fait, que j'entends, mais seulement depuis deux jours, les exemples que vous en avez donnés. ... et j'ai même reconnu le fondement de ce calcul et de toute votre méthode, que j'estime très-bonne et très-utile. Cependant je crois avoir quelque chose d'équivalent, comme je vous l'ai écrit dernièrement. »

C'est seulement trois ans après, le 1 7 septembre 1 G()3, qu'il lui écrit enfin: « Vous connaîtrez, monsieur, que j'ai fait quelque progrès dans votre excellent calcul différentiel, dont je goûte de plus en plus l'utilité. »

Trois ans après la première publication de Leibnitz, et lorsque la plupart des géomètres, peu familiers avec la nouvelle doctrine, étaient encore incapables d'en apprécier la portée et d'en pénétrer la profondeur, Newton publia l'immortel ouvrage qui, aujourd'hui encore, en contient les plus belles applications. Il y emploie constamment la méthode des fluxions, qui, sous une forme différente, repose sur la même idée que celle des différentielles.

Newton, dans sa théorie, assimile les grandeurs variables à des points en mouvement, dont la vitesse, ou fluxion, lui sert à étudier la loi des variations, simultanées qu'il considère.

De même que nous avons dû citer Fermât pour avoir fait usage avant Leibnitz d'une conception analogue à celle des différentielles, il est juste de signaler ici l'analogie de la doctrine des fluxions avec les idées développées par Roberval dans sa Théorie des mouvements composés. Quoiqu'il se soit trompé dans l'énoncé des principes, les applications que fait Hoberval sont exactes et nombreuses. Elles ont précédé de trente années

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au moins la grande découverte qui devait les faire oublier. Newton ne cite pas Roberval, dont il ne connaissait pas sans doute le travail, mais il reconnaît expressément l'identité de sa doctrine avec celle des différentielles, et sans signaler la publication antérieure de Leibnitz, il ne conteste pas l'indépendance de son invention. Il est difficile d'en convenir plus clairement qu'il ne le fait dans le passage suivant :

« Dans les lettres que j'ai échangées il y a une dizaine d'années avec Thabile géomètre Leibnitz, lui ayant annoncé que je possédais une méthode pour déterminer les maxima et les minima, conduire les tangentes et résoudre les questions semblables, et que cette méthode réussissait aussi bien pour les expressions irrationnelles que pour les autres; comme je la lui cachais sous des lettres transposées représentant la phrase suivante : une équation étant donnée qui contient des fluentes, trouver les fluxions et réciproquement, il me répondit qu'il avait également trouvé une méthode analogue qu'il me communiqua, et qui ne différait de la mienne que par les mots et la notation. »

Rien n'est plus décisif que ces lignes écrites par Newton au moment même où il publiait pour la première fois sa doctrine. Les faits qu'il énonce n'ont d'ailleurs jamais été contestés. Antérieurement à sa première publication, Leibnitz avait échangé d'amicales communications avec l'auteur du livre des Principes et reçu la confidence de quelques-uns de ses résultats, sans que toutefois on voulut lui révéler la méthode qui y avait conduit.

Les deux lettres auxquelles le passage cité fait allusion nous ont d'ailleurs été conservées. L'une d'elles est antérieure de douze années à la publication de Leibnitz, mais toutes deux ne lui furent communiquées qu'en i O76, c'està-dù'e huit ans encore avant l'article des Acta Eruditorum. Ces lettres sont consacrées presque exclusivement à l'exposition de découvertes relatives aux séries et contiennent l'énoncé seulement du problème résolu par la méthode des fluxions, qui est cachée sous un chiffre dont Leibnitz, malgré sa pénétration, ne pouvait tirer aucune lumière.

Nous avons également la réponse de Leibnitz, écrite dix mois plus tard, le 2 1 juin 1 G7 7 ; on y voit qu'en l'écrivant il était en possession de la théorie des différentielles. Supérieur au désir de grandir par une forme mystérieuse l'importance de ses résultats et étranger à la crainte de voir ses

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découvertes faciliter celles d'un rival, il communique clairement toutes ses idées et renoncé des problèmes dont il désire encore la solution. Son seul tort fut de publier sept ans plus tard la solution des mêmes problèmes, sans déclarer que Newton savait aussi les résoudre et le lui avait annoncé le premier.

Il est difficile en effet de ne pas rapprocher le titre de la Note de Leibnitz du passage suivant de la lettre de Newton :

« Bien plus, il ne s'arrête pas seulement aux équations renfermant une ou deux quantités indéfinies affectées de radicaux, mais sans réduction aucune de telles équations (ce qui exigerait le plus souvent un travail immense), la tangente est immédiatement déterminée. La chose se passe de même dans les maxima et minima. »

Ce passage rend les droits de Newton incontestables et ferait pencher la balance de son côté, s'il fallait absolument se prononcer entre les deux rivaux . D'autre part, c'est un principe établi que, dans les questions de priorité, l'antériorité de la publication constitue un droit absolu : et ce sentiment, dont Pascal s'est fait l'énergique interprète, déciderait au contraire en faveur de Leibnitz.

« Dès qu'on a vu, dit-il, une invention publiée, on ne peut persuader les autres qu'on l'aurait trouvée sans ce secours, ni s'en assurer soi-même, parce que cette connaissance change les lumières et la disposition de l'esprit qui ne sont plus les mêmes qu'auparavant ; et quand on aurait pris de nouvelles voies, ce n'en serait pas une marque, parce que l'on sait qu'il est aussi facile de réduire à d'autres méthodes ce qui a été une fois découvert, qu'il est difficile de le découvrir la première fois; qu'ainsi tout l'honneur consiste dans la première production, que toutes les autres sont suspectes; et que c'est pour éviter ce soupçon que les personnes qui prennent les choses comme il faut, suppriment leurs propres inventions, quand ils sont avertis qu'un autre les avait auparavant produites, quelques preuves qu'il y ait qu'ils n'en avaient point eu de connaissance, aimant bien mieux se priver de ce petit avantage que de s'exposer à un reproche si fâcheux. »

Mais ces lignes si claires et si vraies ne peuvent s'appliquer ni à Leibnitz, ni à Newton. Pascal ne prévoit pas le cas où l'auteur d'une découverte en aurait lui-même informé à l'avance, en cachant le secret de sa méthode,

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celui qui doit la publier le premier. Or la lettre de Newton, communiquée à Leibnitz, réservait évidemment tous ses droits, et Pascal lui-même ne lui eut pas conseillé de supprimer son invention. Si Ton peut deviner par analogie l'opinion de Pascal, on doit croire même que c'est a Leibnit/ qu'il eût donné ce conseil. C'est en effet avec plus que de la dureté qu'il attaqua Torricelli pour avoir publié le premier la quadrature de la cycloïde trouvée antérieurement, mais non publiée, par Roberval, et que, sans preuve positive, il se hâta de crier au plagiat. La question offre de grandes analogies avec celle qui nous occupe; on l'a moins étudiée, parce que l'objet de débat est moins important, mais les principes à invoquer sont les mêmes, et nous ne pouvons mieux faire que de citer l'opinion de l'Anglais Wallis, qui, défendant Torricelli contre l'attaque passionnée de Pascal, vient précisément justifier à l'avance la conduite de Leibnitz.

<c Nous devons certainement plus à Torricelli qui a rendu publiques des découvertes déjà faites, qu'à Roberval qui a supprimé les siennes; et nous demandons si, parce que Roberval ne voulait pas publier ses découvertes, il fallait que Torricelli ne publiât pas les siennes? »

Pascal dans une autre circonstance la justifie lui-même par son propre exemple. Roberval avait résolu un problème difficile relatif à certaines portions des surfaces cylindriques, mais sans vouloir en rien publier, afin, disait-il, de réserver sa découverte pour s'en servir en cas de nécessité. « Dès qu'il sut, dit Pascal, que je l'avais résolu, il déclara qu'il n'y prétendait plus et qu'il n'en ferait jamais rien paraître, par cette raison que, n'en ayant jamais produit la solution, il devait le quitter à celui qui l'avait produite le premier. Je voudrais bien, ajoute Pascal, que tout le monde en usât de la sorte. » Quoi qu'il en soit, et quelque opinion que l'on adopte, il faut rendre cette justice à Newton que, dans ces premières publications, il fut irréprochable. Mentionner les droits de Leibnitz au partage de la découverte était tout ce qu'il devait faire, et c'est ce qu'il fit sans commentaires ni insinuations. On peut remarquer qu'il ne parle pas de l'article des Actes de Leipzig, mais peut-être ne le connaissait-il pas.

Leibnitz, de son côté, accepta avec la sincérité la plus franche l'exactitude des assertions de son rival sur le droit très-antérieur de sa découverte; il paraît même avoir été bien peu empressé de faire la comparaison des deux

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doctrines, car c'est en 1 694 seulement, c'est-à-dire dix ans après la Note des Acta Eruditorum, et sept ans après la publication du livre des Principes , qu'il écrit à Huyghens :

« Je ne sais quand je verrai l'ouvrage que M. Wallis vient de publier. Voudriez- vous me faire la grâce d'en faire copier les endroits où M. Newton donne des nouvelles découvertes. Je ne demande pas proprement sa manière de trouver des séries, mais s'il donne des moyens pour la converse des tangentes ou pour quelque chose de semblable, car en m'écrivant autrefois il couvrit sa manière sous des lettres transposées. » Et quelques semaines plus tard :

« Je commence par vous remercier de la communication de l'ouvrage de M. Wallis touchant M. Newton. Je vois que son calcul s'accorde avec . le mien, mais je pense que la considération des différences et des sommes est plus propre à éclairer l'esprit. Il me semble que M. Wallis parle assez froidement de M. Newton, et comme s'il était aisé de tirer ces méthodes des leçons de M. Barrow. Quand les choses sont faites, il est aisé de dire : Et

nos hoc poteramus »

Le même mois, il écrivait an Journal des Savants: « Il faut rendre cette justice à M. Newton (à qui l'astronomie, la géométrie et l'optique ont de grandes obligations) qu'encore en ceci il a eu quelque chose de semblable de son chef, suivant qu'on en a su depuis. »

Le récit qui précède fait connaître vraisemblablement toute la vérité. Rien ne pouvait faire prévoir qu'il y eût là matière à un long procès qui, après plus d'un siècle, serait encore débattu avec passion. La question de priorité ne fut en effet soulevée que fort tard ; c'est que sans doute la forme si modeste sous laquelle Leibnitz présenta sa découverte donne la mesure de l'importance qu'il y attacha d'abord. La grandeur de leur œuvre s'accrut peu à peu aux yeux des inventeurs comme à ceux de leurs disciples, et lorsque la méthode infinitésimale eut changé la face de la science, ils examinèrent leurs droits de plus près, les revendiquèrent strictement, et en vinrent bientôt à une guerre ouverte. Mais sans prendre parti dans cette querelle, qui n'est pas encore pacifiée, bornons-nous à raconter quelques faits trop célèbres pour qu'il soit possible de les passer sous silence. Les minutieuses enquêtes auxquelles on s'est livré à plusieurs reprises ont d'ailleurs rame

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la question à son point de départ; la postérité, également respectueuse pour la mémoire des deux illustres inventeurs, a accordé à chacun d'eux la part de gloire qui lui revenait au début, de l'aveu même de son rival, et les géomètres, tout en estimant les deux théories comme équivalentes, les étudient l'une et l'autre dans leur source, eh profitant de la diversité des points de vue qui en facilite l'intelligence et en éclaire la philosophie.

Voici quelle fut l'occasion du débat célèbre auquel des amis trop ardents ont donné le caractère et l'importance d'un véritable procès.

Jean Bernoulli, initié par son frère Jacques aux méthodes infinitésimales, en proposant aux géomètres le problème célèbre de la brachistochrone, avait annoncé, suivant un usage alors très-répandu, qu'il leur donnait six mois pour produire leurs solutions, s'engageant lui-même à tenir la sienne secrète pendant ce temps. Leibnitz seul répondit à l'appel de Bernoulli; mais, en lui communiquant sa méthode, il le priait, dans l'intérêt de la science, de proroger le délai, pour permettre à d'autres géomètres de montrer leur pénétration; il ajoutait que la difficulté delà question lui semblait telle, qu'il croyait pouvoir désigner à l'avance les quatre ou cinq géomètres capables alors de la surmonter s'ils consentaient à l'entreprendre. Fatio de Duillier, membre de la Société Royale de Londres, qui, comme le témoignent plusieurs de ses travaux, avait fait de grands progrès dans la connaissance des nouvelles méthodes, fut, à ce qu'il semble, profondément blessé de ne pas être compté parmi les hommes habiles dont Leibnitz avait donné les noms. 1] s'en plaignit amèrement dans un écrit publié en 1 699 sous le titre de Lineœ brevissimi descensus investigatio geometrica duplex, et dans lequel il blâme en même temps l'habitude de Leibnitz de toujours s'adresser au public. Il déclare en outre que lui-même, en 1687, a trouvé, par ses propres méditations, les principes et les règles principales du calcul des fluxions inventé par Newton, et dont Leibnitz n'est pas même, dit-il, le second inventeur, comme le savent ceux qui connaissent la correspondance de Newton et quelques pièces manuscrites qu'il ne désigne pas.

Quoique le caractère de Duillier semble avoir été présomptueux et vain, et que l'irritation de son amour-propre l'ait seule inspiré dans la discussion qui a entouré son nom d'une regrettable célébrité, il est juste de reconnaître qu'il était homme d'un vrai mérite. Huyghens et Leibnitz, qui ont eu avec

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lui de longues relations, montrent dans leur correspondance une grande estime pour ses talents (*) ; c'est donc à tort qu'on en a fait un de ces ignorants pleins d'en vie, capables au plus de suivre les autres, et ne trouvant rien par eux-mêmes, on est allé surtout beaucoup trop loin en le représentant comme une âme basse et méchante et s'effbrcant de déshonorer sa mémoire (**).

Leibnitz, pour toute réponse, opposa les témoignages d'estime qu'il avait, à toute occasion, reçus de Newton; il se plaît lui-même à exprimer son admiration pour l'auteur du livre des Principes, et conteste à Fatio le droit de le représenter dans une discussion qui semble sans fondement.

La controverse n'alla pas plus loin, et les adversaires posèrent les armes, dit le Dr Brewster, tout prêts à les reprendre à la première occasion.

En 1704, Newton, publiant, à la suite de son Optique, le Traité de la quadrature des courbes, déclara dans l'Introduction, et sans cette fois parler de Leibnitz, que la méthode des fluxions s'était présentée à son esprit pendant les années i665 et 1 GG6. Les Acta Eruditorum donnèrent en janvier 1 7o5 un compte rendu de cet ouvrage, dans lequel on lit le passage suivant:

« L'ingénieux auteur, avant d'arriver aux quadratures des courbes ou plutôt des figures curvilignes, place une courte introduction pour l'entente de laquelle il est nécessaire de savoir que, quand une grandeur (une ligne par exemple) croît d'une manière continue par la fluxion du point qui la décrit, on appelle différences ces accroissements momentanés, c'est-à-dire la différence entré la grandeur avant et la grandeur après chacun de ces changements ; c'est de là qu'est né le calcul différentiel et le calcul sommatoire qui en est la réciproque, dont les éléments ont été publiés dans notre recueil par Leibnitz, qui en est l'inventeur, et dont les divers usages ont été expliqués par les frères Bernoulli et par le marquis de l'Hospital. Ce sont les différentielles de M. Leibnitz que Newton remplace et a toujours remplacées

(*) « Je sais bien que ces quadratures des courbes et le problème renversé des tangentes en bien des occasions peuvent être de fort grande utilité; mais voyant le progrès que MM. Leibnitz, Fatio et Newton y avaient fait devant que j'y eusse songé, j'ai tasché plustôt de profiter de leur travail que de me mettre à chercher après eux, surtout depuis que M. Fatio m'a fait espérer la publication d'un traité de M. Newton sur ce sujet, qui, à son avis, en sait bien plus que luy et M. Leibnitz ensemble. »

(lettre de Hujghens à l'Hospital, 23 octobre 1691.)

(**) Sans refaire ici sa biographie, contentons -nous de dire que Fatio de Duillier professait des opinions religieuses fort exaltées; il se crut le don des miracles et promit de ressusciter publiquement un mort. Il n'y réussit pas, et ses ennemis le firent condamner à une peine infamante.

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par des fluxions qui sont très-approximativement comme les accroissements des fluentes engendrées dans des particules égales de temps, fluxions dont il a fait un élégant usage tant dans son ouvrage suf les principes mathématiques de la nature que dans ses autres écrits, de même que H. Fabre, dans su Synopsis mathematica, a substitué la considération des mouvements à la méthode de Cavalleri. »

Ces lignes, publiées sans signature, ont été vraisemblablement écrites par Ijeibnitz. Il faut avouer qu'il semble s'y attribuer l'invention des différentielles et présenter Newton comme les ayant empruntées et transformées; mais on doit reconnaître aussi que, si telle est sa pensée, il se borne à la laisser entrevoir.

Le Dr Keil, ami de Newton, vit cependant dans ce passage une accusation perfidement dissimulée, et, pour y répondre, il écrivit, dans une lettre sur les lois de la force centripète, adressée à Halley, et publiée dans les Transactions philosophiques de Londres pour 1708 :

« Tout cela, est une conséquence de la célèbre arithmétique des fluxions,

dont on ne peut contester la découverte à Newton, comme il est facile1 de

s'en convaincre en lisant celles de ses lettres qui ont été publiées par Wallis.

* Cette méthode a cependant été, sous un nom et avec une notation différente,

publiée par Leibnitz dans les Acta Eruditorum. »

Leibnitz s'adressa alors à la Société Royale dont il était, membre, contestant à un homme nouveau comme Keil le droit de prononcer aussi hardiment sur des matières dont il ne pouvait être instruit, et demandant que l'on mît lin à ces vaines et injustes clameurs, blâmées sans doute, ajoute-t-il, par New ton lui-même. Mais en cela il se trompait; car, bien que Newton ait évité de paraître personnellement dans le débat, il est prouvé aujourd'hui que Keil agissait de son aveu et n'écrivait rien sans le consulter. Quoi qu'il en soit, la Société, mise en demeure de se prononcer, nomma des Commissaires qui, moins d'un an après, publièrent un Rapport fort court, précédé d'un volume plusieurs fois réimprimé depuis, sous le titre de : Commercium Epistolicum (*) /. Collins et aliorum de varia re mathematica inter celeberrimos prœsentis seculi mathematicos , una cum recensione prœmissa insi-

(*) Co titre de la 2e édition a été rédigé par Newton, qui a essayé, comme le prouve l'examen de ses papiers, jusqu'à douze rédactions différentes.