PRÉFACE

gnis controversice inter Leibnitium et Keilium de primo inventore Methodi Fluxionum; etjudicioprimarii, utferebatur, mathematici subj uncto, iterum impressum.

Ce recueil précieux pour l'histoire de la science contient un grand nombre de communications mathématiques échangées par les géomètres anglais, soit entre eux, soit avec Leibnitz; mais la plupart de ces pièces sont étrangères au débat et de nature à embrouiller la question plutôt qu'à l'éclaircir.

Après avoir rappelé l'histoire d'ime découverte annoncée par Leibnitz, et qui avait donné lieu à une réclamation de priorité reconnue fondée, les Commissaires décident sur les droits à la découverte du calcul différentiel avec une autorité qui neconvientni à deshommes personnellement aussi obscurs, niaux amis de son rival, travaillant, sans l'avouer, sous les yeux de Newton qui les aidait, cela a été prouvé depuis, de son active collaboration. Leur œuvre, qui montre plus de passion que de zèle pour la vérité, suffirait seule pour tenir en garde contre les assertions injurieuses à Leibnitz qui y sont inscrites. Dans un ouvrage dont le caractère devait être la plus impartiale sincérité, ils ont substitué le rôle d'accusateurs et d'avocats à celui de juges, ne craignant pas de donner leurs préventions ou leurs conjectures pour des vérités constantes ; il serait donc imprudent de leur accorder une confiance absolue, et les matériaux qu'ils nous ont transmis doivent être soumis à mie sévère critique.

Il est bon cependant de reproduire le texte de leur Rapport, car il fixe nettement le point de la question et le nœud de la dispute.

ce Nous avons lu les lettres et copies de lettres conservées, tant dans les archives de la Société Royale que dans la collection de Jean Collins, et dont les dates sont renfermées entre les années 1669 et 1G77. Nous nous sommes assurés de l'authenticité de celles qui portent les noms de Barrow, Collins, Oldenbourg et Leibnitz, par le témoignage de personnes familiarisées avec leur écriture. Pour les lettres qui portaient le nom de Grégory , nous nous en sommes rapportés à Collins lui-même, qui avait copié une partie de ces lettres de sa propre main. Nous avons extrait de ces lettres tout ce qui se rapportait au sujet qui nous occupe, et ces extraits qui vous soat livrés en même temps que ces lettres, nous avons constaté qu'ils étaient faits avec soin.

\n PRÉFACE.

» De ces lettres et chartes résulte ce qui suit :

» I. Leibnitz, au commencement de Tannée i(>73, était à Londres; il partit vers le mois de mars pour aller à Paris, d'où, sur la demande d'Oldenbourg, il entretint avec Collins un commerce de lettres qui dura jusqu'en 1G76. Depuis, il revint par Londres et Amsterdam à Hanovre. Or on sait que Collins a toujours communiqué très-volontiers aux mathématiciens ce qu'il tenait de Newton et de Grégory.

» IL Leibnitz, à son premier voyage de Londres, se déclara l'imeiitciir d'une certaine méthode dite proprement différentielle, et bien que Pell lui eut appris que Newton s'en était déjà servi, il n'en continua pas moins à s'attribuer tous les droits d'inventeur, tant parce qu'il l'avait trouvée, disaitil, sans aucun secours étranger, n'ayant pas eu connaissance des publications de Newton, que parce qu'il y avait beaucoup ajouté. Ornons ne trouvons nulle mention d'une méthode différentielle autre que celle de Newton, avant la lettre de Leibnitz du 1 1 juin 1677, une année pleine après que la lettre de Newton, du 10 décembre 1672, eut été envoyée à Paris pour être communiquée à Leibnitz, et quatre ans après que Collins eut commencé à communiquer cette même lettre à ses amis. Dans cette lettre, la méthode des fluxions est suffisamment décrite pour toute personne au courant de ces matières.

» III. De la lettre de Newton du i3 juin 167G, résulte évidemment qu'il connaissait déjà, à cette date, la méthode des fluxions depuis cinq ans. Il résulte également de son analyse par les équations qui ont un nombre infini de termes, analyse communiquée à Barrow et à Collins en 1 669, qu'il avait, même avant ce temps, songé à cette même méthode.

» IV. La méthode différentielle est la même exactement que la méthode

des fluxions, au nom et à la notation près Nous croyons que ceux qui

ont attribué l'invention à Leibnitz, ne connaissaient pas ou connaissaient mal les rapports qui avaient existé entre Collins et lui, et ignoraient que New ton se fût servi de la même méthode quinze ans avant que Leibnitz eût commencé à la publier dans les Acta Eruditorum.

» Cela posé, nous pensons que Newton est le premier inventeur de cette méthode, et que Keil, par conséquent, en la lui attribuant, n'a aucunement fait tort ou injustice à Leibnitz. »

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D'après ce jugement, les prétentions de Leibnitz n'auraient aucun fondement. Il se plaignit en vain : « Mais je ne sais, écrivit-il à Chamberlay ne, par quelle chicane et quelle supercherie quelques-uns firent en sorte qu'on prît la chose comme si je plaidois devant la Société, et me soumettois à sa juridiction, à quoi je n'avois jamais pensé; et selon la justice, on devoit me faire savoir que la Société vouloit examiner le fond de l'affaire, et l'on devoit me donner lieu de déclarer si j'y voulois proposer mes raisons, et si je ne tenois aucun des Juges pour suspect. Ainsi, on n'y a prononcé qnuna parte audit a ^ d'une manière dont la nullité est visible. Aussi ne crois-je pas cjue le Jugement qu'on a porté puisse être pris pour un arrêt de la Société. » Cependant M. Newton l'a fait publier dans le monde par un Livre imprimé exprès pour me décréditer, et envoyé en Allemagne, en France, et en Italie, comme au nom de la Société. Ce Jugement prétendu, et cet affront fait sans sujet à un des plus anciens membres de la Société même, et qui ne lui a point fait déshonneur, ne trouvera guères d'approbateurs dans le monde ; et dans la Société même, j'espère que tous les membres n'en conviendroient pas. Des habiles François, Italiens, et autres désapprouvent hautement ce procédé, et s'en étonnent: et on a là-dessus des lettres en main; les preuves produites contre moi leur paroissent bien minces.

» Pour moi, j'en avois toujours usé le plus honnêtement du monde envers M. Newton; et quoiqu'il se trouve maintenant qu'il y a grand lieu de douter s'il a su mon invention avant de l'avoir eue de moi, j 'avois parlé comme si de son chef il a voit eu quelque chose de semblable à ma méthode. Mais abusé par quelques flatteurs mal avisez, il s'est laissé porter à m'attaquer d'une manière très-sensible. Jugez maintenant, Monsieur, de quel côté doit venirprincipalement ce qui est nécessaire pour faire cesser cette contestation. » Cependant, dès que la Commission eut parlé, les géomètres anglais adoptèrent ses conclusions et les regardèrent comme solidement établies. C'est ce que Taylor accepte dans l'ouvrage intitulé Methodus Incrementorum, où le nom de Leibnitz n'est pas même prononcé ; c'est ce que Maclaurin confirme dans le Treatise of Fluxions ', publié en 1 735 ; c'est enfin ce que Buflfon répète avec plus de force encore dans la préface mise en tête de la traduction d'un ouvrage <Je Newton. Leibnitz, si l'on acceptait son récit, aurait joint à une mauvaise foi inexcusable une maladresse presque ridicule.

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<c Leibnitz, dit-il, était en possession, et en possession non contestée, de tout ce que la géométrie avait produit de pins brillant depuis vingt siècles; mais cet éclat de gloire n'a pas duré, des partisans trop zélés et des disciples éblouis, en voulant élever leur maître, ont été cause de l'al>aissement de sa réputation. »

1 aï plupart des géomètres du continent persistèrent cependant dans le sentiment opposé; beaucoup d'entre eux, et des plus illustres, reconnurent les droits de Leibnitz, en accusant les Anglais d'injustice et de légèreté.

Examinons en effet la décision des Commissaires; elle peut se résumer en deux propositions :

i° lie calcul des fluxions ne diffère pas du calcul différentiel. 2° Cette doctrine unique, créée par Newton, a été communiquée clairement à Leibnitz, avant qu'il la publiât comme sienne.

La première de ces assertions n'est pas contestable: la déclaration formelle de chacun des deux rivaux nous dispense d'insister sur ce point, qui est constant entre les parties.

Quant à l'accusation de plagiat portée contre Leibnitz, la postérité ne l'a pas ratifiée. Elle repose, comme on l'a vu, sur la communication faite à Leibnitz par Oldenbourg d'une lettre écrite par Newton, le io décembre 1 672, et dans laquelle, disent les Commissaires, la méthode des fluxions est suffisamment décrite pour toute personne intelligente. Or ce point essentiel de l'accusation disparaît entièrement, car l'examen des papiers de Leibnitz, conservés à Hanovre, a prouvé fort récemment que cette lettre n'a pas été envoyée en entier, et que dans l'extrait que Leibnitz en a reçu en 1 67 6, le passage suivant se rapporte seul à la méthode des fluxions.

« Après la mort de Grégory, Collins rassembla la vaste correspondance qu'ils avaient entretenue, et dans laquelle se trouve l'histoire de la méthode des séries. Newton lui promit alors d'y joindre sa propre méthode pour qu'elle fût publiée à la première occasion. Il ne sera pas hors de propos d'ajouter que Newton, en nous communiquant, le 10 décembre 1G72, sa méthode des tangentes aux courbes géométriques définies par une équation entre l'ordonnée et l'abscisse, ajoutait qu'elle était un cas particulier, ou plutôt un corollaire de la méthode générale qui s'étend, sans calculs compliqués, non-seulement à la détermination des tangentes à toutes les courbes

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géométriques, mécaniques ou dépendant suivant quelque loi que ce soit des lignes droites ou courbes, et aussi à la solution des problèmes plus difficiles relatifs aux aires, aux longueurs, à la courbure des lignes, aux centres de gravité, etc.; et, ajoute-t-il, elle n'est pas bornée, comme celle de Hudde pour les rnaxima et minima, et celle de Sluzepour les tangentes, aux équations débarrassées de termes irrationnels. Newton a mêlé, dit-il, cette méthode à celle qui se fonde sur le développement des équations en séries infinies, et il se souvient qu'au moment où le Dr Barrow publia son ouvrage, il lui fit savoir qu'il possédait une telle méthode. »

ïl n'y a pas là, on le voit, de méthode exposée ou indiquée; cette lettre, si décisive d'après les Commissaires, pose seulement la question, dont Leibnitz, d'après sa réponse imprimée dans le Commercium Epistolicum, connaissait déjà la solution.

Cette découverte est doublement précieuse : non-seulement elle réduit à néant l'accusation la plus grave des Commissaires, mais elle confirme en quelque sorte l'exactitude des assertions de Leibnitz lorsqu'il déclare que c'est à Vienne qu'il a su la publication du Commercium, et qu'en y répondant il ne le connaît que par les rapports de ses amis, n'en ayant pas encore vu un exemplaire. On a jugé une telle déclaration très-invraisemblable ; elle explique cependant, ce qui sans cela serait bien difficile à comprendre, comment Leibnitz, qui n'avait qu'un mot à dire pour prouver sur ce point important la légèreté de ses adversaires, a pu s'abstenir de toute réclamation.

Il n'existe donc aucune preuve contre la parfaite candeur des grands génies qui sont en cause, et l'on doit accorder à tous deux l'honneur de la découverte qu'ils déclarent tous deux avoir faite.

Chacun des deux rivaux retira cependant les concessions qu'il avait eu la loyauté de faire, et leur conduite à l'occasion du Commercium Epistolicum ne laisse de choix à ceux qui veulent l'expliquer qu'entre beaucoup de légèreté dans le passé, ou un peu de mauvaise foi dans le présent. Klle serait incompréhensible si Ton ne savait, comme l'a dit Pascal, que les grands hommes, quelque élevés qu'ils soient, si sont-ils semblables aux moindres par quelque endroit.

Leibnitz, qui tant de fois avait accordé à Newton l'honneur d'une découverte indépendante et antérieure à la sienne, n'eut pas en effet assez d'équité

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et d'élévation morale pour rester juste envers celui qui, caché sous un voile transparent, cherchait à le diffamer.

Il eut un tort plus grave encore : il obtint de Jean Bernoulli un jugement sur les droits de Newton, destiné à rester secret, et qu'il publia sans l'aveu de l'auteur, en y laissant subsister une phrase qui équivalait à une signature, l'n tel procédé n'est pas excusable.

Newton chercha de son côté à interpréter la déclaration, si précise pourtant, qu'il avait faite des droits de Leibnitz. 11 écrit en effet en 1 7 1 (> :

<c II prétend que dans mon livre des Principes, p. 2:53 et a 54, je lui ai passé qu'il tenoit indépendamment de moi l'invention du Calcul différentiel; et que de m'en attribuer présentement l'invention à irçpi-même, c'est révoquer la concession que je lui ai faite. Mais dans le paragraphe qu'il cite, je ne trouve pas un seul mot qui le favorise. Tout au contraire, j'y représente que j'avois donné avis de ma méthode à M. Leibnitz, avant qu'il m'eut donné avis de la sienne ; et je le mets dans l'obligation de prouver qu'il eût trouvé la méthode avant la date de ma lettre, c'est-à-dire huit mois pour le moins avant la date de la sienne. De plus, en renvoyant, comme je fais, aux lettres que nous nous étions écrites M. Leibnitz et moi, dix ans auparavant, j'ai laissé aux lecteurs à consulter ces lettres, qui peuvent servir à expliquer le paragraphe en question. »

Il eut enfin la maladresse de supprimer la Note en question dans l'édition de 1726, sans autre résultat que de faire mieux remarquer encore l'importance décisive du témoignage, qui, placé dans le livre des Principes, est assuré de ne pas périr.

Mais c'est trop insister sur ces vaines discussions, où la science n'a pas à s'accroître, et qui n'éclairent même pas la question historique. "En résumé, quoique la publication de Newton ait été postérieure à celle de Leibnitz, il est prouvé qu'il ne lui doit rien, mais tout porte à croire qu'il ne l'a aidé en rien. En l'absence de preuve positive, qui oserait soupçonner Leibnitz, lui si sincère et si dévoué à la vérité, d'avoir dissimulé les secours qu'il aurait reçus d'un rival? Sa vie tout entière, tant de fois et si minutieusement étudiée, le justifie d'une telle imputation. Le système que soutiennent ses adversaires est d'ailleurs inadmissible en soi. Ils l'accusent, en effet, d'avoir volontairement dissimulé des vérités que de nombreux témoins auraient pu facile-

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nient affirmer lors de la première publication. Si la prudence seule, à défaut de sentiments plus dignes de lui, n'avait pas suffi pour l'empêcher d'affronter, en la méritant, une accusation aussi grave, comment croire que les amis de Newton eussent attendu vingt-cinq ans pour le démasquer? Leurs reproches, au lieu de s'envenimer lentement par l'aigreur d'une longue et tardive discussion, auraient tout d'abord éclaté pour le confondre. Leibnitz et Newton partagent donc la gloire d'avoir inventé le Calcul différentiel, et, quoique différemment illustres, chacun d'eux doit être tenu pour honoré de s'être rencontré avec un tel émule. Bien qu'ils soient complètement d'accord sur le fond, on retrouve dans la forme qu'ils ont adoptée l'empreinte de leurs génies si dissemblables. L'un, plus préoccupé des lois de l'univers que de celles de l'esprit humain, semble voir surtout dans les nouvelles méthodes l'instrument de ses efforts pour pénétrer la nature, et leur assignant un but plus élevé, en a mieux montré toute la portée. L'autre, qui mettait sa gloire à perfectionner l'art d'inventer, a plus nettement marqué la route, et nous suivons encore aujourd'hui les traces lumineuses qu'il y a laissées. Le premier, ne produisant ses découvertes qu'après en avoir longuement mûri la forme, a pu donner à ses travaux quelque chose de plus achevé et de plus ferme, et faire jaillir de sa pensée toutes les vérités qu'elle contient. Le second, plus habile à marquer les grands traits, se plaisait à remuer les questions les plus variées, en éveillant des idées justes et fécondes qu'il laissait à d'autres le soin de suivre et de développer. Newton se croyait rarement obligé à énoncer la règle avant d'en faire l'application ; Leibnitz au contraire aimait à donner des préceptes, et se montrait plus empressé à proposer de beaux problèmes qu'à suivre les détails de leurs solutions. Si Newton, plus diligent, avait publié dix ans plus tôt sa théorie des fluxions, le nom de Leibnitz resterait un des plus grands dans l'histoire de l'esprit humain, mais, tout en le comptant parmi les géomètres du premier ordre, c'est à ses idées philosophiques et à l'universalité de ses travaux que la postérité attacherait surtout sa gloire. Si Leibnitz, au contraire, abordant plus tôt l'étude des mathématiques, avait pu ravir à son rival l'honneur de leur commune découverte, on n'admirerait pas moins dans le livre des Principes, avec la majesté des résultats obtenus, l'incomparable éclat des détails, et en perdant ses droits à l'invention de la méthode qui s'y trouve employée avec I. c

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tant d'art, Newton resterait placé au rang qu'il occupe aujourd'hui pamii les géomètres, je veux dire à côté d'Archimède, et au-dessus de tous les autres.

Après avoir rendu justice à chacun des deux inventeurs, et disculpé Leibnitz de l'accusation trop légèrement et trop souvent portée contre lui, nous devons avouer qu'on irait trop loin en ajoutant, avec Fontenelle, qu'en aucune autre occasion la sincérité de Leibnitz ne fut révoquée en doute; l'illustre géomètre, occupé sans cesse de plusieurs sujets à la fois, en correspondance active avec un grand nombre de savants, qui, souvent opposés les uns aux autres, s'accordaient à lui demander des conseils et des inspirations, a pu souvent manquer de mémoire et froisser l'amour-propre de quelques contemporains en éveillant ainsi quelquefois de justes susceptibilités.

Bornons-nous à citer le passage suivant d'une lettre écrite par Huyghens à l'Hospital, le 9 avril 1 693.

« M. Leibnitz est assurément très-habile, mais il a avec cela une envie immodérée de paraître, comme cela se voit encore dans le 1 3e Journal de la même année, lorsqu'il parle de son analyse des infinis, du problème des loxodromies, que Jac Gregorius avait résolu longtemps avant lui, dans les Exercitations géométriques, des lois harmoniques des mouvements planétaires, ou il a suivi l'invention de M. Newton, mais y mêlant ses pensées qui la gâtent, dans sa construction de la chaînette, qu'il veut préférera celle de M. Bernoully, comme si ce n'était pas la même chose. Encore suis-je fort eu doute pour des raisons que je pourrais alléguer, s'il n'a pas tiré sa construction de celle de M. Bernoully. Mais je vous prie de ne rien témoigner de ceci. »

En rapportant ces attaques entièrement confidentielles, et formulées d'ailleurs bien légèrement peut-être, hâtons-nous d'ajouter qu'elles n'autorisent aucunement à révoquer en doute la probité scientifique de Leibnitz; c'est cependant ce qu'on a fait trop souvent. Fontenelle lui-même, dans le discoure consacré à son éloge, a cédé au désir de faire un rapprochement piquant, sans se laisser arrêter par l'idée qu'il serait difficile de n'y pas voir une insinuation blessante pour son héros.

« Si Leibnitz, dit-il, avait été plagiaire, il se serait donc démenti cette seule fois, et aurait imité le héros de Machiavel, qui est exactement vertueux jus-

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qu'à ce qu'il s'agisse d'une couronne. La beauté du système des infiniment petits justifie cette comparaison. » Mais cette dernière remarque même est très-contestable: le calcul différentiel, si important par ses conséquences, n'offre pas une de ces brillantes découvertes qui éclatent tout d'abord à l'esprit, et rien ne prouve, comme nous l'avons déjà fait observer, qu'au moment de sa première publication Leibnitz en aperçut toute la portée. Son grand mérite fut de saisir dans les théories connues le point véritablement essentiel, de manière à dégager, pour l'enseigner à tous, la méthode d'invention que les plus habiles seuls pouvaient reconnaître dans les démonstrations de ses prédécesseurs. Il réduisit par là des raisonnements compliqués, aux opérations simples et délicates que les inventeurs, après les avoir aperçues comme dans un trait de lumière, avaient jusque-là rendues méconnaissables sous les correctifs qu'ils y apportaient pour en assurer la rigueur. Satisfaits de faire connaître le résultat de leurs méditations, ils ne se souciaient pas d'en marquer assez nettement la trace pour qu'un autre pût la suivre à son tour. Leibnitz, au contraire, n'hésita pas à opposer aux objections chimériques que l'on redoutait à tort, les conceptions intuitives de l'esprit, sans lesquelles on ne sait rien comme il faut. Ce sont ces clartés naturelles qui, éclairant les théories jusque-là les plus cachées, et permettant, pour ainsi dire, de les pénétrer d'une seule vue, contribuèrent plus que tout le reste au développement de leurs conséquences.

J'ai cru devoir donner quelques détails historiques sur la découverte du calcul différentiel, mais mon dessein n'est pas de faire ici l'histoire complète de ses progrès et de son développement. Il est impossible cependant de ne pas mentionner le rôle des frères Jean et Jacques Bernoulli, qui furent les disciples immédiats de Leibnitz et les confidents de toute sa pensée. Leur nom est mêlé à celui de Leibnitz à chaque page de l'histoire du nouveau calcul, et cette glorieuse ressemblance doit resserrer dans la mémoire des hommes une union que bien des nuages ont troublée pendant leur" vie. Ils cultivèrent le calcul différentiel avec tant de succès, qu'il leur appartient, a écrit Leibnitz, autant qu'à lui-même. L'aîné, Jacques, employa pour la première fois le calcul infinitésimal dans la solution d'un problème de mécanique déjà résolu par Huyghens et par Leibnitz qui l'avait proposé. L'illustre auteur des nouvelles méthodes s'empressa d'encourager le jeune et

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brillant adepte, dont il paraît avoir immédiatement jugé tout le mérite. Quoique la solution synthétique eut déjà été donnée, peu de géomètres auraient pu, dit-il, y appliquer le calcul différentiel, dont les principes sont encore peu connus, et dont personne, à ma connaissance, n a plus complètement pénétré T esprit.

Jean Bernoulli, frère cadet de Jacques, ne tarda pas à le suivre dans la même voie, et ne se distingua pas moins par sa pénétration à résoudre les problèmes que par la difficulté et l'intérêt de ceux qu'il proposait. Leibnitz l'accueillit avec le même empressement ; il inspira souvent ces deux brillants esprits, qui plus d'une fois lui rendirent l'impulsion qu'ils avaient reçue de lui .

La correspondance de Leibnitz avec les frères Bernoulli forme deux volumes. Aucun autre ouvrage ne renferme peut-être de problèmes plus ingénieux et en plus grand nombre. Les questions qui y sont proposées et résolues montrent la puissance des nouvelles méthodes et la pénétration des illustres auteurs. Les géomètres trouveront toujours plaisir et profit à y étudier, avec les itlées des inventeurs, des solutions mêmes que la science, malgré ses progrès, rendrait difficilement plus simples et plus générales. Mais ces problèmes eux-mêmes ne peuvent être mêlés qu'en petit nombre à l'exposition générale de la doctrine aux progrès de laquelle ils ont tant contribué, et l'histoire du rôle des frères Bernoulli ne deviendrait lumineuse* et équitable que par l'exposition détaillée de leurs travaux.

Après Leibnitz, Newton et les frères Bernoulli, la succession des grands géomètres n'a plus été interrompue. Kuler et d'Alembert, l^agrange et Laplace, Gauss et Abel, Cauchy et Jacobi, ont successivement dirigé le mouvement incessant des mathématiques, et leurs nombreux disciples, souvent devenus leurs émules, nous ont aidés, en s'inspirant d'eux, à les comprendre et à les apprécier. Mon but ne saurait être ici de faire l'histoire des progrès qui leur sont dus. L'exposition détaillée des théories actuelles ne nous conduira même que rarement à faire connaître les travaux des inventeurs. La science en effet, dans son rapide progrès à la fin du dix-septième siècle, n'a pas suivi la marche que nous devrons adopter pour en exposer les principes. Les géomètres s'occupaient surtout alors de résoudre des problèmes, surmontant les difficultés à mesure qu'elles se présentaient et ne s'embarrassant guère que d'arriver au but. Il en est résulté que lorsque

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l'Hospital en 1694, et Euler en 17 5 5, publièrent les ouvrages qui contiennent, ceux d'Euler surtout, avec des vues grandes et vraies, de nombreux et de si excellents exemples, l'un et l'autre exposèrent, pour la première fois, des théories générales dont il ne serait pas juste cependant de leur attribuer l'invention. Uniquement désireux de propager la science aux progrès de laquelle ils contribuaient chaque jour, ils se bornent à faire connaître les méthodes sans en discuter l'origine, et comme on ne peut supposer qu'ils réclament l'honneur d'avoir tout inventé, rien n'est plus modeste que ce silence qui semble tout placer dans le domaine de tous.

ïl est donc impossible d'attacher à chaque théorie le nom incontesté d'un inventeur, et le débat célèbre que nous avons fait connaître se serait renouvelé à l'occasion de chaque progrès important de la science, si, de même qu'on a voulu trop souvent établir qu'un seul a ouvert la voie, on eut absolument tenu à décider dans quel ordre les géomètres l'y ont suivi et jusqu'où chacun s'y est tout d'abord avancé. Certaines vérités, en effet, sont acquises implicitement dès que l'attention est appelée sur le principe qui y conduit, et l'on peut dire par exemple que la Note publiée en 1 GH\ dans les Actes de Leipzig ne pouvait manquer de conduire rapidement à la presque totalité des théories qui forment le premier Livre de cet ouvrage.

l^e premier chapitre est consacré à l'étude géométrique des infiniment petits. On y verra, par la solution développée de quelques problèmes, comment les raisonnements doivent être présentés pour être entièrement rigoureux. Mais, les principes une fois posés, nous emploierons souvent dans la suite le langage commode sous lequel il ne faut voir que les mêmes idées plus brièvement exprimées. Ces abréviations consistent à négliger immédiatement, et sans dire pourquoi, ce qui est effectivement négligeable, et a nommer du même nom, en les traitant comme identiques, les points et les lignes dont la substitution ne peut exercer d'influence sur le résultat final. C'est ainsi que l'on dira souvent : la tangente en un point d'une courbe passe par le point infiniment voisin; lorsqu'une droite mobile reste tangente a une courbe, on peut la considérer a chaque instant comme tournant autour du point de contact; ces locutions, et plusieurs autres analogues, sont tellement reçues, quoique incorrectes, qu'il faut s'y accoutumer comme à des termes consacrés qui abrègent le discours. Pour plusieurs auteurs, la

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méthode infinitésimale consiste à remplacer une courbe par un polygone dont les côtés sont infiniment petits. Cette substitution conduit presque toujours à des résultats exacts, et les démonstrations que Ton en déduit doivent toujours être examinées avec soin. Mies sont fort simples, mais leur clarté, plus apparente que réelle, se dissipe quand on y regarde de près.

Leibnitz et les frères lîernoulli, Euler et l'Hospital (*) employaient ce langage, et quoiqu'ils aient fait preuve d'une science très-assurée dans leurs applications géométriques de la méthode infinitésimale, on comprend, en lisant leurs ouvrages, que les géomètres habitués à la rigueur d'Euclide aient eu quelque peine à accepter leurs raisonnements, et que l'exactitude re«r connue des résultats ait été nécessaire pour rassurer certains lecteurs sur la légitimité d'un langage trop peu sévère. Le célèbre mot de d' Alembert: « Allez en avant, et la foi vous viendra, » n'exprime rien autre chose. I /Académie des Sciences de Paris se refusa pendant quelque temps à admettre une doctrine qui semblait altérer la pureté géométrique; elle vit naître d'ardentes discussions dans lesquelles plusieurs de ses membres, s'attachant avec obstination à de fausses idées qu'ils s'étaient formées, et à des locutions qui les choquaient sans qu'ils voulussent considérer le fond des choses, contestèrent non-seulement la rigueur des raisonnements, mais encore l'exactitude des règles de Leibnitz. Cette opposition fut utile, en forçant les géomètres infinitésimaux à donner une forme plus nette aux principes contestés, qui peutêtre n'avaient été mal compris des uns que pour avoir été jusque-là mal expliqués par les autres. Leibnitz lui-même, que les plus grands géomètres de l'Europe avaient enfin admiré et compris, loin de s'envelopper dans sa gloire et de mépriser les critiques, ne dédaigna pas de répliquer avec courtoisie à des adversaires qu'il estimait malgré la faiblesse de leurs arguments. Sa réponse au Journal de Trévoux est restée célèbre par une concession singulière, qui semblerait passer condamnation sur le manque de rigueur qu'on lui reprochait. Il assimile en effet les infiniment petits des divers ordres a des grandeurs incomparables à cause de leur extrême inégalité, comme le serait un grain de sable par rapport au globe de la terre. Un tel langage, il faut l'avouer, ne signifie rien de précis et conduirait à confondre l'infiniment

(*) Newton est toujours aussi irréprochable dans la forme que rigoureux dans le fond.

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petit avec le très-petit. Leibnitz ressemble, dans cette circonstance, dit Fontenelle, à un architecte qui a fait un bâtiment si hardi, qu'il n'ose lui-même s'y loger, tandis que d'autres, plus confiants que lui, s'y logent sans crainte, et, qui plus est, sans accident. Mais à cette citation on doit ajouter que, la lettre de Leibnitz n'étant pas écrite pour des géomètres, la concession qui semble trop timide n'était peut-être que prudente. Leibnitz renvoie d'ailleurs sur ce point à l'ouvrage de l'Hospital, cjui l'expose avec exactitude et simplicité. Toute controverse ne tarda pas d'ailleurs à s'évanouir par la définition précise des termes employés, et ces matières ont été éclairées et approfondies partant de diseussions, qu'il n'y subsiste plus aucun nuage, et que tout aujourd'hui semble simple et rigoureux dans le début d'une science facilement accessible, et que l'on ne songe plus à nommer transcendante.

L'idée fondamentale de la théorie des différentielles consiste à chercher, dans l'accroissement d'une fonction quelconque, la partie proportionnelle à l'accroissement de la variable, et qui reçoit le nom de différentielle. Elle s obtient si facilement pour les fonctions simples ou composées, implicites ou explicites, que l'historien le plus minutieux ne se croirait pas obligé de rapporter l'honneur de chaque règle à celui qui l'a énoncée le premier, l^i considération des fonctions de plusieurs variables complète d'une manière aussi naturelle que nécessaire la conception primitive de Leibnitz, qui, non plus que Newton, n'a pas eu occasion de s'en occuper. Le Traité des Infiniment petits de l'Hospital, publié en i654, traite exclusivement des fonctions d'une seule variable. La transition d'un cas à l'autre est cependant si naturelle, qu'Euler, ayant à différentier une fonction de deux variables x et /, écrit immédiatement le résultat sous la forme Pd^r-f-Q^, et ne signale même pas dans la science l'introduction d'une idée nouvelle. Quoique les règles de Leibnitz n'aient pas été posées en vue de ce problème plus général, elles s'y appliquent en effet, et souvent même le résolvent complètement. Lorsque par exemple on s'est habitué à dire

d.ab = adb-+- bda,

en regardant a et h comme deux fonctions quelconques d'une même variable #, si l'on doit différentier le même produit ab lorsque les variables sont indépendantes, il est tout naturel d'employer la même formule, et, malgré

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l'importance de la question nouvelle qui se trouve abordée, on comprend qu'il n'y a pas lien à regarder comme une découverte cette extension donnée à une formule aussi connue et à l'expression de laquelle on n'a d'ailleurs rien à changer.

Quoi qu'il en soit, nous n'avons rien d'essentiel à ajouter à ce que le Calcul différentiel d'Euler contient sur les différentielles premières d'une» fonction de plusieurs variables.

lia théorie du déterminant d'un nombre quelconque de fonctions contenant un nombre égal de Variables fait le sujet du chapitre III. Cette théorie, qui se rattache d'une manière beaucoup moins directe à la conception primitive, est aussi beaucoup plus récente, et due presque entièrement à Jacobi. La définition de ce déterminant est telle, que dans le cas d'une seule fonction il se réduit à la dérivée. L'analogie des déterminants et des dérivées est d'ailleurs complète, et l'importance des applications, faites la plupart par l'illustre auteur de la théorie, donne à cette ingénieuse conception le droit de figurer parmi les principes de la science.

Nous avons placé immédiatement après la théorie des différentielles du premier ordre son application à l'étude des tangentes et des plans tangents, qui est à la fois une des plus célèbres, des plus importantes et des plus simples que l'on en puisse faire. On s'étonnera peut-être cependant qu'un chapitre consacré à la géométrie vienne interrompre l'exposition des principes analytiques; mais il n'y a, je crois, aucun inconvénient à aborder immédiatement les questions géométriques dont l'étude n'exige du lecteur aucune idée nouvelle. lies théories qui, comme celle de la courbure des surfaces, restent habituellement en dehors des études élémentaires, seront au contraire placées plus utilement après l'exposition du calcul différentiel, parce que, tout en formant une application très-intéressante des principes relatifs aux différentielles du second ordre, elles n'en sont pas la traduction géométrique.

lia détermination des plans tangents a été tout naturellement rapprochée de celle des tangentes, quoiqu'elle lui soit, dans l'ordre historique, postérieure de bien des années. Parent, dans ses Essais et Recherches dematfiématupies et de physique, a le premier parlé de représenter une surface par une équation entre trois variables, mais il n'a pas fait connaître l'équation générale du plan tangent. Jean Bernoulli, sans la donner explicitement, a

PRÉFACE. xxv

été conduit, dans la solution d'un problème difficile, à faire entrer dans les * formules les éléments qui la déterminent. On voit, en lisant son Mémoire, qu'il lui eût été bien facile de l'obtenir, mais on ne doit pas pour cela regarder J. Bernoulli comme Y inventeur de la théorie du plan tangent, qui en réalité n'appartient à personne.

La théorie des enveloppes a naturellement trouvé place dans le Chapitre consacré aux tangentes. Conçue par Leibnitz dès le début des nouveaux calculs, elle se rattache très-simplement à la théorie précédente, et n'exige comme elle que la considération des dérivées du premier ordre. On peut la considérer, il est vrai, comme la généralisation de la théorie des développées d'Huyghensoudes caustiques de Tchirnaus. Mais ces enveloppes d'uneespèce particulière seront étudiées dans un autre Chapitre, où l'on fera connaître les propriétés qui leur sont propres.

Le Chapitre V complète la théorie des différentielles du premier ordre; il contient l'expression de la différentielle de quelques fonctions géométriques, et en particulier de la longueur d'un arc de courbe. Quoique cette recherche appartienne à la Géométrie, elle ne suppose chez le lecteur que les seules idées qui, dès l'apparition de la théorie de Leibnitz, furent immédiatement familières à tous les géomètres. L'étude des arcs de courbe occupe une grande place dans l'histoire de la science, et le calcul intégral lui doit l'origine de ses plus belles théories générales ; mais ces questions seront traitées dans un autre volume, nous pouvons à peine les indiquer dans celui-ci.

La théorie des dérivées d'ordre supérieur et celle du changement de la variable indépendante, qui n'est au fond que la recherche des formules générales qui donnent les dérivées des fonctions implicites, forment les Chapitres VI et VIL Les questions qui y sont résolues se posent d'elles-mêmes, et leur solution ne pouvait arrêter aucun géomètre digne de ce nom. Les simplifications que l'on peut apporter au calcul successif des dérivées appartenant à l'enseignement plus encore qu'aux principes mêmes de la science, peut-être trouvera-t-on surabondants les détails qui nous permettent de consigner à l'avance quelques résultats utilisés plus tard dans la théorie des séries.

Les formules pour le changement de la variable indépendante, dans le cas d'une seule variable, ont été données pour la première fois dans le Traité des infiniment petits de l'Hospital, et l'exposition complète de la théorie génét. d

xxvi PRÉFACE.

raie occupe une place importante dans le Calcul différentiel d'Euler, qui ne laisse en dehors de ses méthodes aucun des cas utiles ou curieux que l'oir peut avoir à considérer.

Le Chapitre VIII est consacre à la formation des équations différentielles. Ces équations devaient naître naturellement des problèmes inverses relatifs aux tangentes, et Ton ne pouvait tarder à voir, comme Jean Bernoulli le remarqua le premier, qu'à une même équation différentielle correspondent une infinité de courbes, dont l'équation générale contient une constante arbitraire. De là à éliminer la constante par la différentiation, il n'y a qu'un pas qui devait conduire forcément à éliminer plusieurs constantes par le moyen des dérivées d'ordre supérieur. Euler fut le premier à exposer cette théorie. Cependant, je le répète, on ne pourrait pas, sans injustice pour Leibnitz et les frères Bernoulli, lui en attribuer l'invention. Il n'a d'ailleurs fait lui-même qu'esquisser la théorie de l'élimination des fonctions arbitraires dont nous donnons l'importante application faite par Monge à l'étude des diverses classes de surfaces. Parmi les travaux qui ont servi à constituer cette partie de la science, signalons enfin un excellent Mémoire d'Ampère, sur lequel nous aurons à revenir.

La correspondance des géomètres du dix-huitième siècle offre, presque à chaque page, des exercices et des développements sur une théorie importante qui, née en même temps que le calcul différentiel, appliquée souvent à la solution des mêmes problèmes, et se développant avec lui, en a reçu et lui a fourni de tels secours, qu'il est aujourd'hui presque nécessaire de les étudier en même temps.

Le Livre II est consacré à l'exposition de cette doctrine, dont nous devons esquisser rapidement l'histoire.

On peut faire remonter à Archimède l'emploi d'une série infinie. La méthode qu'il emploie pour carrer la parabole suppose en effet la sommation d'une progression illimitée. Dans le Traité sur V Hélice, il a été conduit, comme Cavalleri, Pascal et Wallis l'ont été depuis, à considérer l'aire d'une portion de courbe comme la somme d'une infinité d'éléments; mais il n'y a pas là de séries proprement dites, parce que ces éléments sont variables et diminuent à mesure que leur nombre augmente, tandis que les termes d'une série, également en nombre infini, ont chacun une valeur fixe qui, bien

PRÉFACE. xxvu

entendu, tend vers zéro lorsque le rang du terme augmente indéfiniment. Ces sommes d'éléments se présentaient en outre comme des formes transitoires auxquelles on ne pouvait s'arrêter, et qui par elles-mêmes n'eussent été d'aucun secours.

C'est encore la recherche d'une quadrature qui conduisit Mercator à la série célèbre qui représente / (i H- #), et dont la démonstration, qui a précédé la découverte du calcul différentiel et celle du calcul intégral, revient

au fond à remplacer la fraction par une progression indéfinie, et à in-

tégrer ensuite les deux membres de l'équation. Cette série, publiée en 1 67 a dans l'ouvrage intitulé Logarithmotechnîa, est le premier exemple d'une formule composée d'un nombre illimité de termes, et utilement employée pour le calcul numérique de l'expression qu'elle représente : chacune des parties dont se compose la démonstration de Mercator était alors bien connue. Huyghens avait montré l'identité des logarithmes avec les aires hyperboliques, et X Arithmetica infinitorum de Wallis faisait connaître l'aire des courbes dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse, c'est-à-dire, dans notre langage actuel, l'intégrale de chacun des termes de la progression. Le seul, mais le grand mérite de Mercator, est donc d'avoir appelé l'attention sur l'expression indéfinie qu'il était sans doute facile de former, mais dont un géomètre moins perspicace aurait méconnu l'importance.

Lorsque Mercator publia sa découverte, Newton était depuis plusieurs années en possession de l'idée fondamentale qui y conduit, et Ja communiqua à Barrow, autrefois son maître et alors son collègue, en mettant sous ses yeux le manuscrit du Traité intitulé : Analysis per œquationes numéro terminorum infinitas. Newton, dans ce petit Traité, transporte pour ainsi dire au calcul algébrique les méthodes de l'Arithmétique. Les séries ordonnées suivant les puissances de la variable sont, à ses yeux, la généralisation des fractions décimales qui peuvent représenter tous les nombres. De même que ces fractions décimales participent aux propriétés des nombres entiers et se prêtent aussi facilement qu'eux au calcul, les séries transforment les expressions fractionnaires ou irrationnelles en polynômes entiers, et ramènent les expressions les plus compliquées à un type uniforme et simple.

xxviiï PRÉFACE.

Quoique ce mode de développement s'applique utilement à un grand nombre de problèmes, c'est en vue surtout de la quadrature des courbes que Newton le considère d'abord. Comme Mercator, il fait usage de la formule de Wallis, qui exprime l'aire d'une courbe dont l'ordonnée est proportionnelle à une puissance de l'abscisse; mais il va beaucoup plus loin que lui, en appliquant la méthode, non-seulement aux fonctions algébriques explicites, mais encore à la résolution des équations littérales dont il développe la racine en série, et trouvant enfin l'expression d'un arc de cercle en fonction de son sinus, puis par la méthode du retour des suites, dont il est l'inventeur, le développement du sinus en série ordonnée suivant les puissances de l'arc. Dans ce premier essai, l'illustre auteur se contente de former les termes du développement sans s'attacher à démontrer leur expression générale qu'il devine par analogie. La formule pour le développement de la puissance d'un binôme ne s'y trouve pas; c'est longtemps après, en 167G, dans une lettre à Oldenbourg, qu'il indique longuement comment il a été conduit à la deviner et à en vérifier ensuite l'exactitude. L'opuscule de Newton fut communiqué par Barrow à plusieurs géomètres dont il excita la vive admiration; mais loin d'être stimulé par de tels suffrages, Newton cessa dès lors de poursuivre ses idées, persuadé que Mercator, étant entré dans cette voie, trouverait aisément le reste avant que lui-même fût d'un âge assez mûr pour rien publier : il avait alors vingt-six ans et possédait déjà, outre la méthode des séries, les principes du calcul des fluxions et la décomposition de la lumière! La gloire de Newton ayant appelé sur ses moindres actes les minutieuses recherches de la postérité, tous ces faits ont été mis hors de doute et ne peuvent être contestés : mais s'il s'agissait de tout autre, le silence qu'il garda envers le public ne permettrait-il pas d'assigner à ses recherches une date postérieure à la publication de Mercator? Tant il est vrai que sur de telles questions on ne doit raisonner qu'avec une extrême réserve.

Gregory découvrit, peu de temps après, la série qui exprime un arc en fonction de sa tangente, et Leibnitz y parvint également après lui, mais à l'aide de principes différents et sans avoir eu connaissance du résultat. Ils doivent être cités l'un et l'autre parmi les créateurs de la théorie des séries. On doit également mentionner Jacques Bernoulli, inventeur d'un théorème

PRÉFACE. wix

général qui donne l'expression d'une fonction quelconque en série dont les termes contiennent en facteur ses dérivées successives, et qui est une conséquence immédiate du développement beaucoup plus important découvert plus tard par Taylor.

L'ouvrage de Taylor intitulé Methodus incrementorum contient, avec de très-belles applications, une nouvelle manière de présenter l'analyse infinitésimale en la rattachant au calcul des différences finies. C'est là qu'il donna pour la première fois le théorème célèbre qui porte son nom, et dont les travaux des plus grands géomètres ont constamment depuis accru l'importance. Toutes les séries connues jusque-là en sont de faciles corollaires, et il en peut fournir une infinité d'autres. Taylor cependant nen donna pas une seule, et cette circonstance explique le peu d'importance que les géomètres semblent avoir attaché d'abord à sa découverte. Aujourd'hui encore le théorème de Taylor, modifié d'une manière insignifiante, est désigné souvent sous le nom de théorème de Maclaurin, et il a été souvent cité comme appartenant à d'Alembert, qui, ignorant sa publication très-antérieure, l'a donné comme nouveau dans Y Encyclopédie.

Taylor est loin d'ailleurs d'avoir complètement traité la question; l'étude des conditions nécessaires pour que sa série soit convergente n'a été faite que peu à peu. D'illustres géomètres ont attaché de l'importance à en avoir donné des démonstrations nouvelles qui les mettent mieux en évidence, et c'est tout récemment que Cauchy est parvenu enfin à les renfermer dans une règle générale qu'il regardait avec raison comme une de ses plus importantes découvertes.

Tous les géomètres s'accordent aujourd'hui à regarder la convergence d'une série comme une condition nécessaire de son légitime emploi. Les premiers inventeurs de cette grande théorie partageaient cette opinion, qui semble d'ailleurs si naturelle. Les séries dont ils faisaient usage devaient toujours, suivant eux, donner la valeur numérique de la fonction représentée. Leibnitz paraît avoir été le premier à désirer des règles de convergence.

On lit dans une lettre adressée par lui à Hermann, le 2 juillet 1 700 :

« Je ne demande pas que l'on trouve la valeur d'une série quelconque sous forme finie; un tel problème surpasserait les forces des géomètres. Je

xx\ PRÉFACE.

voudrais seulement que Ton trouvât moyen de décider si la valeur exprimée par une série est possible, c'est-à-dire convergente, et cela sans connaître l'origine de la série. 11 est nécessaire, pour qu'une série indéfinie représente une quantité finie, que l'on puisse démontrer sa convergence, et que Ton s'assure qu'en la prolongeant suffisamment l'erreur devient aussi petite que l'on veut. »

Pendant longtemps pourtant les géomètres, presque sans exception, ont accepté sur ce point une doctrine bien étrange; non contents d'appliquer les développements en série aux cas légitimes où ils sont convergents, ils se sont crus en droit de les étendre sans restriction. La généralité inhérente aux formules algébriques a trompé sur ce point les plus scrupuleux et les plus habiles; regardant les séries comme des polynômes, ils croyaient pouvoir sans crainte exécuter sur elles les opérations et transformations reconnues légitimes pour la somme d'un nombre quelconque de termes, et les nécessités particulières imposées par la condition qu'elles fussent convergentes ont été pendant longtemps méconnues. Kuler, qui le premier a formulé explicitement cette opinion, croyait qu'un raisonnement où interviennent les séries divergentes est suffisamment exact dès que la suite des calculs amène un résultat en termes finis, ou une série convergente.

De tels principes, adoptés par un esprit aussi sage, et qui partout ailleurs a si bien connu et respecté la rigueur mathématique, nous offre une de ces contradictions où l'esprit humain tombe quelquefois et qu'il faut renoncer à expliquer. Quoi qu'il en soit, quelques applications heureuses tinrent lieu d'une démonstration qu'il était impossible de faire, et que pendant longtemps personne ne songea à réclamer.

C'est vers le commencement du siècle que Poisson rappela les géomètres à la vérité et à la rigueur, en montrant à quels résultats peut conduire l'emploi des séries divergentes. Quelques lignes énergiques de Gauss et d'Abel ont également contribué à faire cesser ce scandale géométrique et à établir solidement la nécessité absolue de la convergence en faisant disparaître de la science une erreur qui, tenant aux principes, aurait pu en causer un grand nombre d'autres. Mais il est inutile d'insister sur une doctrine que rien ne justifie et qui est réfutée par le seul examen des conséquences absurdes qu'elle entraîne.

PRÉFACE. \x\i

Les règles qui permettent de décider de la convergence d'une série acquirent une importance nouvelle lorsque cette convergence eut été reconnue indispensable. La solution du problème dans quelques cas particuliers, est aussi ancienne que l'emploi des séries; mais l'étude approfondie n'en a été faite que très-tard et très-lentement.

Nous pouvons citer d'abord quelques règles presque évidentes données par d' Alembert, et relatives aux séries numériques, l'expression du reste de la série de Taylor par Lagrange, l'étude d'une série importante dont Gauss a donné la condition de convergence en la rattachant à des règles élégantes, et enfin des méthodes nombreuses et auxquelles bien peu de cas peuvent échapper, pour décider de la convergence des séries numériques à termes positifs. A l'étude des conditions de convergence des séries, nous avons dû joindre l'exposition des méthodes qui facilitent leur sommation approchée lorsqu'elles sont lentement convergentes. Nous en exposons trois qui reposent sur des principes très-différents, et dont chacune pourra, dans certains cas, se trouver plus avantageuse que les deux autres. L'une de ces méthodes est due à Stirling, la seconde à Euler, la troisième, qui est d'une grande élégance, a été proposée par M. Kummer.

La série de Taylor, à cause de sa grande généralité, devait plus que toute autre fixer l'attention des géomètres; l'expression du reste, successivement obtenue sous diverses formes plus ou moins appropriées aux cas les plus remarquables que l'on devait traiter, semblait, avant les beaux travaux de Gauchy , donner le dernier mot de la question envisagée sous forme abstraite. En approfondissant le résultat de Taylor, sans sortir du point de vue auquel il s'est placé, on y voit tout d'abord et assez facilement une généralisation du principe sur lequel repose le calcul différentiel : l'accroissement infiniment petit d'une fonction quelle qu'elle soit, si l'on y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, est proportionnel à l'accroissement de la variable; les exceptions dont la possibilité est évidente, puisque la fonction reste indéterminée, ne pouvant jamais se rapporter qu'à certaines valeurs singulières de la variable et le théorème restant forcément exact en général et pour toute fonction continue. Si l'on étudie la question de plus près, en se bornant toujours cependant au cas d'un accroissement infiniment petit, on démontre que l'excès de l'accroissement d'une fonction sur la partie que l'on

xxxii PRÉFACE.

peut nommer principale et proportionnelle à l'accroissement de la variable, devient forcément proportionnel au carré de celui-ci, lorsque Ton y néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second; la portion principale de ce qui est négligé dans cette seconde approximation est elle-même proportionnelle au cube de l'accroissement de la variable, et ainsi de suite indéfiniment, les exceptions possibles se rapportant, non à des fonctions singulières, car le théorème est une conséquence nécessaire de la loi de continuité, mais à des valeurs spéciales de la variable pour lesquelles la continuité est rompue.

Ce point de vue très-important et très-lumineux du théorème de Tavlor nvn donnerait cependant qu'une intelligence imparfaite.

C'est à Cauchy que revient l'honneur d'avoir le premier rattaché cette question importante à ses véritables principes. La possibilité ou l'impossibilité de développer une fonction par la formule de Ta\lor peut être reconnue sans qu'il soit nécessaire de calculer les termes mêmes de la série, pourvu que la fonction à développer soit définie pour les valeurs réelles et imaginaires de la variable. Cette introduction des imaginaires dans une question à laquelle leur théorie semble d'abord complètement étrangère est un des plus grands progrèsque l'analyse doive à Cauchy et qu'elle ait faits dans ce siècle.

Les expressions imaginaires se présentent comme une conséquence nécessaire des formules les plus simples de l'Algèbre; les racines des équations du second degré impossibles ont la forme a-\-b y/ — 1, qui est aussi celle des racines de toute équation algébrique, et généralement des résultats fournis par des opérations algébriques quelconques exécutées sur de telles expressions. Ces théorèmes furent admis par les géomètres avant d'avoir été rigoureusement démontrés. Ëuler les énonçait en 17I2, dans les Miscellanea Herolinensia, comme bien connus. C'est cependant en 1 7/1 (> qu'on en trouve la première démonstration générale donnée par d'Alembert, démonstration insuffisante, il faut l'avouer, ainsi que toutes celles qui furent données jusqu'au Mémoire où Gauss reprend cette question après avoir justement critiqué les raisonnements proposés jusqu'à lui. Peu de questions du reste ont été plus souvent traitées. Gauss n'y a pas consacré moins de cinq Mémoires, et Cauchy, auquel on a souvent attribué la première démonstration rigoureuse, y est revenu lui-même à plusieurs reprises.

PRÉFACE. xxxiii

Non-seulement les opérations algébriques exécutées sur les expressions imaginaires donnent pour résultat des expressions de même forme qu'elles, mais encore le logarithme d'une expression imaginaire admet une infinité de valeurs, toutes de la forme a -h b y/ — 1, et la puissance dont l'exposant est imaginaire peut être mise sôus la même forme, à laquelle on est toujours ramené. C'est là une découverte importante d'Euler, qui fait d'autant plus d'honneur à sa pénétration, que les discussions de Leibnitz et de Bernoulli sur ce sujet n'avaient fait qu'embrouiller la question en en montrant toutes les difficultés. Euler dissipa tous les nuages en faisant connaître l'expression des lignes trigonométriques au moyen d'exponentielles imaginaires, d'où Ton a déduit tant de belles conséquences, signalées en grande partie par luimême. Gtons seulement ici la décomposition des lignes trigonométriques en produits, et les nombreuses formules auxquelles elle conduit, et dont les démonstrations, peu rigoureuses il faut l'avouer, ont été confirmées depuis par une analyse plus sévère. C'est à Euler également que l'on doit les séries qui expriment les sinus et cosinus du multiple d'un arc en fonction des puissances entières du sinus ou du cosinus, et réciproquement les puissances du sinus ou du cosinus en série dont les termes sont les sinus ou cosinus des multiples de l'arc; les résultats qu'il a fait connaître sont soumis, il est vrai, à des restrictions qu'il n'a pas connues, et les géomètres, trompés par leurs idées sur la généralité des formules algébriques , ont mis longtemps à les soupçonner • Poisson signala le premier une contradiction qu'elles présentent, et dont l'explication ne fut pas donnée immédiatement; mais en mathématiques les formules ne se démentent jamais, et lorsqu'il s'y présente quelque résultat paradoxal, on peut affirmer qu'un examen plus attentif le fera disparaître. Poinsot ne tarda pas, en effet, dans son Mémoire sur les sections angulaires, à préciser le sens et les conditions d'exactitude de ces divers développements. L'examen des questions de convergence est malheureusement laissé de côté dans son travail, et a été fait pour la première fois par Abel, dans son important Mémoire sur le binôme.

Ce Mémoire d'Abel nous ramène à la théorie des fonctions imaginaires,

dont nous ne. nous sommes écarté qu'en apparence en parlant des séries

trigonométriques. L'illustre géomètre norvégien y étudie, avec une rigueur

jusque-là bien rare dans les questions de ce genre, la série du binôme, dans

Xxxiv PHÉFACË.

laquelle il suppose aux lettres qui y figurent des valeurs imaginaires. Il ne s'agissait pas seulement pour lui de savoir si la formule de Newton reste exacte et représente encore (i + .r)m, lorsque x et m sont imaginaires. Une telle proposition n'aurait aucun sens précis. La série, en effet, est complètement déterminée lorsque ;r et m sont donnés, et la fonction admet, d'après la définition, un nombre infini de valeurs; quelle est celle qui représente la série? Abel résout complètement la question, préparant ainsi par l'étude d'un cas particulier difficile et important la théorie générale créée peu de j temps après par Cauchy, et qui a pris rapidement une telle importance, que

nous devons nous y arrêter particulièrement.

Pour comprendre la portée de cette théorie, il faut premièrement se ; former une idée nette du degré de généralité renfermé dans cette expres-

sion : une fonction imaginaire quelconque, et ne pas se laisser égarer par l'analogie, très-trompeuse cette fois, avec une fonction réelle quelconque.

Nous avons une idée très-claire du degré d'indétermination que comporte cette expression, une fonction quelconque d'une variable réelle. Nous entendons que, pour chaque valeur de la variable, on peut choisir librement celle de la fonction, sans que le choix soit gêné par aucune autre condition que celle de fournir une suite continue représentant les points d'une courbe dont la forme reste arbitraire. L'analogie porte tout naturellement à regarder une fonction imaginaire quelconque comme impliquant un égal degré d'indétermination et pouvant recevoir, pour une valeur donnée delà variable o? = a -f- p \/— i, une partie réelle et une partie imaginaire arbitraires toutes deux, sans autre restriction que celles qui résultent delà condition de continuité. Si l'on prend, en un mot, a, {3 pour coordonnées d'un point ayant pour troisième coordonnée la partie réelle de la valeur correspondante d'une fonction arbitraire, on doit penser, à priori, que la surface décrite par ce point est entièrement arbitraire comme la fonction qui lui donne naissance ; mais il y aurait là une erreur grave. La condition d'avoir une dérivée déterminée équivaut en effet à deux équations qui sont imposées à la partie réelle aussi bien qu'à la partie imaginaire d'une fonction quelconque, et que nous supposerons toujours satisfaites. L'existence de ces équations explique comment une fonction dont la définition n'est pas donnée peut avoir néanmoins des propriétés très-précises, et rend

PRÉFACE. xxxv

raison de l'existence des beaux théorèmes de Cauchy, qui seraient sans cela incompréhensibles. Nous nous bornons à indiquer dans ce volume comment les valeurs infinies ou mal déterminées d'une fonction font connaître les limites en dehors desquelles son développement est impossible. Nous aurons à y revenir dans un autre volume, où l'emploi du calcul intégral simplifiera les démonstrations en permettant de les compléter. Cette théorie est d'autant plus importante, que Lagrange affirme dans un ouvrage célèbre que le théorème de Taylor, loin de devoir être regardé comme une conséquence du calcul différentiel, doit être établi à priori et contient les véritables principes de ce calcul, dégagés de toute idée d'infiniment petit ou de limite. La démonstration donnée par l'illustre auteur, malgré l'autorité imposante de son nom, n'a pu être acceptée parles géomètres, mais on n'en doit pas moins admirer cette affirmation si formelle, quoique non justifiée, d'un principe qui, établi un demi-siècle plus tard sur des bases bien différentes, devait acquérir en même temps un degré de généralité auquel les partisans de ces idées ne songeaient pas même alors. En voyant combien d'explications délicates sont nécessaires pour fixer le sens et les limites du théorème de Taylor, on comprend qu'il tient à des vérités d'un accès trop difficile pour qu'on en puisse faire, comme l'avait voulu Lagrange, la pierre fondamentale de l'édifice : quelque élégante et facile que soit la doctrine à laquelle on est conduit en se plaçant tout d'abord aussi haut, les géomètres ne peuvent oublier que la précision des énoncés et la solidité absolue des preuves sont le caractère essentiel des sciences mathématiques, et si l'on est excusable de s'en écarter momentanément pour atteindre plus vite un but important, on ne saurait se montrer trop sévère lorsqu'il s'agit d'établir les bases d'une longue suite de théories.

Lorsque dans la série de Taylor on attribue à la variable une valeur imaginaire, elle se transforme en série ordonnée suivant les sinus et cosinus des multiples d'un même arc. Les séries de ce genre, si importantes aujourd'hui, ont été considérées pour la première fois par Daniel Bernoulli, qui par des procédés ingénieux, mais singulièrement hardis, et, il faut l'avouer même, bien peu rigoureux, a donné l'expression d'une constante, de la variable x, du carré et du cube de cette variable, en série de cette forme. Qu'il nous suffise de dire ici que le point de départ de la démonstration

xxxvi PRÉFACE.

est l'équation

=cosx-4-cos2x-4-cos3x-4-. . .-f-cos/ix-K . . f

que Bernoulli nomme incongrue vera, et qu'il faudrait simplement appeler inexacte et absurde, car le second membre est évidemment indéterminé. Une année après, Euler, portant son attention sur ces questions, les a rattachées à sa théorie des exponentielles imaginaires ; mais c'est dans ce siècle seulement qu'une importante application, due à Fourier, fut l'occasion de nouvaux travaux qui montrent, en toute rigueur, la possibilité de représenter par des séries de ce genre toutes les fonctions continues ou discontinues. Mais ce sujet important n'appartient pas à ce volume, et nous nous bornons à y faire connaître les méthodes simples et peu rigoureuses d'Kuler.

11 était impossible de s'étendre autant que nous l'avons fait sur la théorie des séries, sans rencontrer un grand nombre de résultats élégants et célèbres qui se déduisent des formules générales. On doit faire néanmoins une distinction essentielle entre une série ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une variable ou toute autre loi régulière, et une série purement numérique dont la somme représente un nombre et non une fonction : la particularisation de la lettre variable peut conduire de la première à la seconde, mais le problème inverse est indéterminé. Par exemple, la formule

donnée sans démonstration par Newton, peut être considérée indifféremment comme provenant de la série

X* X* X1 X9 Xu

3 5 7 9 ii dans laquelle on suppose x = i , ou de

,- / . sin 3 x sin 5 x . \

où l'on suppose x = -• Elle appartient ainsi à deux théories très-différentes, et pourrait d'ailleurs se déduire de beaucoup d'autres.

PRÉFACE. xxxvii

Les ouvrages et les Mémoires cTEuler contiennent un grand nombre de sommations de ce genre, que nous sommes bien loin de reproduire toutes; c'est dans son Introduction à l'étude de l'analyse infinitésimale et dans la collection des Mémoires de Saint-Pétersbourg qu'il convient de les étudier. Malgré l'importance de la série de Taylor, il est souvent plus simple d'obtenir les termes du développement qu'elle devrait fournir, en employant d'autres méthodes dont le Chapitre III du second Livre fournit des exem* pies. On y a placé d'abord plusieurs démonstrations d'une formule générale due à Lagrange, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de a la racine z d'une équation quelconque, mise préalablement sous la forme

Ziss:a-hocç(z).

Cette belle formule a été l'objet de nombreux travaux, et d'habiles géomètres ont différé d'opinion Sur le caractère distinctif de la racine qu'elle fournit. Ces questions seront discutées plus tard. Dans ce Chapitre nous nous bornerons à donner sur ce point quelques indications fort simples. La formule de Lagrange donne comme corollaire deux autres formules dignes d'intérêt, qui sont dues à Burmann et à Abel.

La méthode des coefficients indéterminés est très-souvent la plus commode à employer pour obtenir les termes d'un développement dont la légitimité a été démontrée ; nous donnons plusieurs exemples de son application, en signalant de remarquables séries dues à M. Tchébychef. La théorie des fonctions génératrices, créée par Laplace, quelques remarques sur les notations symboliques, et une digression sur les fonctions désignées par Xn et sur les nombres de Bernoulli, terminent le Chapitre, qui n'a pas d'autre unité que l'absence du théorème de Taylor dans l'étude de séries qui pourraient s'en déduire.

Le Chapitre IV contient la définition des fonctions imaginaires. Les points principaux qui y sont traités ont été indiqués plus haut à l'occasion du théorème de Taylor.

Le Chapitre V est consacré au développement des fonctions de plusieurs variables ; il contient l'extension à ce cas de la formule de Taylor et de celle de Lagrange.

xxxviii PRÉFACE.

Le Chapitre VI fait connaître le développement de quelques fonctions sous forme de produits infinis ; les formules fondamentales dont se déduisent la plupart des autres sont celles qui donnent les expressions de sin x et eos ar, et qui s'appliquent aux valeurs réelles ou imaginaires de la variable; elles sont dues à Euler, qui, peu rigoureux dans leur démonstration et dans l'étude de leurs conséquences, en a déduit cependant un très-grand nombre de résultats exacts et importants, qu'une analyse irréprochable a confirmés depuis.

Les développements sous forme de fractions continues sont étudiés clans le Chapitre VII, où se trouvent indiquées les formules les plus remarquables obtenues sur ce sujet par Euler, Lambert, Lagrange et Gauss ; ces développements peuvent d'ailleurs varier beaucoup pour une même fonction, et leur importance, si grande en Arithmétique, est beaucoup moindre en Analyse, parce que la condition de n'admettre que des dénominateurs entiers, qui entraîne les plus belles propriétés de ces fractions, est ici supprimée sans que rien vienne la remplacer.

Les principes de la théorie des résidus, créée par Cauchy, sont exposés •clans le Chapitre VIII. L'illustre géomètre a remarqué que dans un grand nombre de problèmes où figurent des fonctions qui passent par une valeur infinie, la partie importante à considérer, celle qui le plus souvent détermine seule le résultat, n'est pas, comme toutes les analogies sembleraient l'indiquer, la partie principale, c'est-à-dire la fonction simple, dont pour des valeurs voisines la différence avec la fonction est infiniment petite relativement à chacune d'elles, mais une certaine fraction dont le dénominateur est toujours du premier degré, dont Cauchy a désigné le numérateur sous le nom de résidu, et dont il a fait dans presque toutes les parties de la science d'élégantes et utiles applications.

Le second Livre est enfin terminé par deux Chapitres relatifs aux valeurs singulières des fonctions et aux questions de maximum et minimum. On a du les placer après l'étude des séries sur l'emploi desquelles sont fondées la plus grande partie des méthodes et des démonstrations qui y sont exposées.

L'application du calcul infinitésimal à la théorie des courbes et des surfaces fait l'objet du troisième Livre. La généralité des résultats qui s'y trouvent exposés est presque toujours absolue, et presque tous les théorèmes sont indépendants de la définition spéciale de la courbe ou de la surface à laquelle

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ils se rapportent. Descartes, Fermât, Pascal, Huyghens, Roberval, et quelques autres, auraient sans doute résolu sans le secours du nouveau calcul chacune des questions auxquelles on l'appliqua d'abord ; mais la force et la beauté de l'idée nouvelle consistent précisément à supprimer toute distinction entre les fonctions que Ton étudie ou entre les lieux qu'elles servent à représenter. En réunissant dans les mêmes recherches les courbes mécaniques et les courbes géométriques exclusivement considérées par Descartes, Leibnitz détruisit une barrière nuisible au progrès de la science, en même temps qu'il annonçait le premier l'existence de lois générales applicables à la variation de toutes les grandeurs continues; et si les résultats les plus merveilleux auxquels cette voie peut conduire sont restés inconnus aux inventeurs du calcul différentiel, on ne peut leur refuser l'honneur d'y avoir incontestablement fait les premiers pas.

On doit ajouter que cette généralité dans les résultats, qui fait l'importance du calcul différentiel, en fait aussi la simplicité. Si l'étude individuelle des courbes et des surfaces est facilitée, comme celle des fonctions particulières, par la connaissance des lois communes à tous les cas, elle exige cependant, il faut le reconnaître, avec une force d'invention tout aussi grande, des procédés d'investigation incomparablement plus variés, et notre admiration pour les grands génies qui ont ouvert les voies nouvelles ne doit pas faire priser moins haut les travaux de ceux qui persévérèrent dans l'ancienne route ou diminuer l'importance qui s'attache à leurs découvertes.

Le premier Chapitre de ce troisième Livre est consacré à l'étude de la courbure des lignes planes et à la théorie des développées, qui y est liée trop intimement pour qu'on doive les séparer. L'illustre Huyghens, inventeur de la seconde de ces théories, ne paraît pas cependant avoir eu nettement la notion de la courbure ; il ne l'a pas du moins formulée explicitement. Leibnitz et Newton y ont été conduits les premiers par des voies différentes. C'est dans les Acta Eruditorum de 1 686 que Leibnitz donna le premier la définition du cercle osculateur, en expliquant l'importance qu'on y doit attacher dans l'étude des courbes. « Dans chaque portion infiniment petite d'une courbe, on peut considérer, dit-il, comme on l'a fait jusqu'ici, non-seulement la direction, mais la variation de cette direction, c'est-à-dire la flexion (flexura)\ et de même que pour indiquer la direction on fait usage de la

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ligne la plus simple possible qui est la ligue droite, je mesure la flexion d'une courbe par la ligne la plus simple qui ait non-seulement même direction, niais encore même courbure qu'elle, c'est-à-dire par le cercle qui non-seulement la touche, mais lui est osculateur. I^a ligne droite, dont la direction est toujours la même, est très-propre à indiquer une direction; de même le cercle est très-propre à indiquer la courbure, parce que la courbure d'un cercle est la même en tous ses points. Le cercle osculateur d'une courbe en un point est celui qui forme avec elle le plus petit angle de contact; parmi le nombre infini des cercles qui touchent une courbe en un point, on peut, en effet, toujours en assigner un qui s'y assimile mieux que tous les «autres, et rampe, pour ainsi dire, davantage vers elle, de sorte qu'aucun autre cercle ne puisse être placé entre eux. »

Le passage précédent est extrait d'une Note fort courte de Leihnitz, extrêmement curieuse à plus d'un titre. On y voit un exemple de la manière dont ce puissant esprit approfondissait tout en paraissant tout effleurer. Il avait aperçu très-nettement, quoiqu'il l'exprime sous une forme peu précise, la théorie de l'oscillation et des contacts de divers ordres; mais ici, comme en bien d'autres circonstances, il se contente d'avoir donné les germes d'une théorie nouvelle, laissant à d'autres le soin de les faire fructifier. Les indications qu'il donne sur la manière de trouver le cercle osculateur sont nonseulement très-vagues, mais absolument inexactes, car il se trompe sur le nombre des racines égales que l'on doit trouver lorsque Ton cherche l'intersection d'une courbe avec son cercle osculateur. On peut conclure de cette inadvertance que l'exemple choisi par lui, qui est celui d'une section conique considérée à son sommet, est le seul qu'il ait traité jusqu'au bout; s'il en eut essayé un autre, il aurait certainement reconnu que trois points seulement d'intersection et non pas quatre viennent se confondre en un seul. Plusieurs de ces indications, quoique exactes quand on les interprète comme il faut, manquent peut-être d'une base précise, et l'on comprend, en lisant de pareils écrits, que la doctrine qu'ils renferment restât inabordable au commun des lecteurs.

Jacques Bernoulli, reprenant quelques années après l'exposition des mêmes principes, signala l'inadvertance de Leibnitz, relative au nombre des points d'intersection d'une courbe avec son cercle osculateur; mais, malgré

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l'évidence des explications qui lui furent données à plusieurs reprises, Leibnitz revint sur le même sujet et n'abandonna que fort tard sa première assertion.

Puisqu'il ne prononce pas le nom d'Huyghens, Leibnitz ne paraît pas avoir aperçu immédiatement l'intime relation de sa théorie nouvelle avec celle des développées; mais, dans une lettre écrite cinq années plus tard, il dit à Huyghens : « Les centres des cercles mesurant la courbure tombent dans votre génération par évolution. » Huyghens répondit : « Vous me parlez de votre discours : De angulo contactus et osculi> qu'il me souvient d'avoir lu et qui ne me paraît pas nouveau, parce que j'avais considéré ces sortes de contact dans mon Traité de l'évolution des courbes, et même longtemps auparavant. » — « Je crois bien, répond Leibnitz, que vous aviez vu le cercle qui se décrit du point de la courbe évolue, et dont le rayon est la moindre droite qu'on peut mener de ce point à la courbe décrite; mais peut-être n'aviez-vous pas songé à le considérer comme la mesure de la courbure, et moi, lorsque j'avais considéré le plus grand cercle qui touche la courbe intérieurement, je ne m'étais pas avisé de songer aux évolutions. » Newton de son côté, dans le livre des Principes publié en 1687, fait un usage continuel de la théorie du rayon de courbure, et montre une pleine connaissance de la relation qui lie cette théorie à celle des développées.

Le Chapitre est terminé par l'étude de systèmes de coordonnées curvilignes sur un plan et la démonstration de formules remarquables dues à M. Lamé, qui, après avoir créé cette théorie, lui a consacré un ouvrage qui semble avoir bien peu laissé à faire à ceux qui voudraient l'accroître ou la simplifier. Nous signalons particulièrement la relation remarquable qui lie les rayons de courbure des courbes orthogonales avec leurs dérivées prises par rapport aux arcs normaux, formule très-élégante, qui contient implicitement la loi suivant laquelle peuvent varier les côtés des rectangles infiniment petits dans lesquels un plan est décomposé par deux séries de courbes orthogonales : chaque rectangle en particulier est évidemment arbitraire; mais les côtés successifs ont entre eux des relations nécessaires qui changeraient si les courbes étaient situées sur une autre surface, et qui ne sont les mêmes que pour deux surfaces applicables l'une sur l'autre.

L'étude des lignes tracées sur la sphère est le but du second Cha- I. /

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pitre; on y considère un élément signalé par Ëuler sous le nom de courbure sphérique, et présenté comme fournissant la généralisation naturelle de la notion de courbure des lignes planes. Les travaux des géomètres modernes ont étendu la généralisation aux lignes tracées sur une surface quelconque et augmenté par là l'importance des théorèmes très-simples que nous démontrons dans le cas des courbes sphériques. L'extension des belles formules de M. Lamé au cas d'un système de lignes se coupant à angle droit sur la sphère doit être particulièrement signalée.

Le troisième Chapitre est consacré aux lignes à double courbure. Sans nous occuper particulièrement d'aucune courbe, nous donnons, comme pour les courbes planes, les propriétés qui leur sont communes à toutes; elles sont pour la plupart des conséquences de la loi de continuité, mais le lien qui les y rattache est caché : des yeux très-exercés et attentifs peuvent seuls l'apercevoir. Toute courbe a en chaque point un plan osculateur, un cercle osculateur dont l'axe, intersection de deux plans normaux infiniment voisins, est la génératrice d'une surface développable, ayant pour arête de rebroussement le lieu des centres des sphères osculatrices.

Le plan osculateur a été pour la première fois considéré par Jean Bernoulli, qui, en l'introduisant dans la solution d'un problème de Géométrie, a indiqué très-suffisamment le moyen de le déterminer. Mais ces considérations paraissent avoir fort peu attiré l'attention avant le beau Mémoire où Monge a pour la première fois exposé la théorie générale des développées, et qui forme la base de nos connaissances générales sur les courbes à double courbure. C'est laque pour la première fois se trouve indiquée la surface développable qui contient les développées et son arête de rebroussement lieu des centres des sphères osculatrices. 11 a montré également que le lieu des centres de courbure n'est pas une développée, et rendu facile la solution dç, tous les problèmes résolus dans ce troisième Chapitre.

La théorie générale des surfaces, telle qu'elle est exposée dans les Chapitres V, VI et VII, est renfermée presque entièrement dans le Mémoire d'Euler sur la courbure des sections normales, et dans les écrits où Monge a fait connaître l'existence et les propriétés des lignes de courbure. Ces propriétés si simples et si admirables par leur généralité ne pouvaient tarder à devenir classiques et en quelque sorte élémentaires. Rien n'est plus utile à

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courbure reste invariable on chaque point; mais la réciproque n'est pas exacte, et les points crime surface peuvent correspondre un à un à ceux d'une autre surface, de telle sorte que le produit des rayons de courbure soit le même aux points correspondants, sans que pour cela les lignes correspondantes aient la même longueur; d'autres conditions sont nécessaires pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre; leur étude successivement perfectionnée par plusieurs géomètres habiles, a conduit à une méthode très-simple qui permet de décider si deux surfaces sont applicables Finie sur l'autre, sans sortir des limites du calcul différentiel.

Le même Chapitre contient enfin quelques résultats remarquables relatifs à l'élément nommé par M. Liouville courbure géodésique, et qui joue dans l'étude des lignes tracées sur une surface un rôle tout analogue à celui de la courbure dans l'étude des lignes planes.

Tel est le résumé succinct des vingt-six Chapitres qui composent ce premier volume ; il y reste d'importantes lacunes et des imperfections nombreuses que je ne me dissimule pas. Kn comparant ce que j'ai pu faire avec le plan que je m'étais tracé, je sais mieux que personne combien je suis resté loin du but que j'aurais voulu atteindre. Je voudrais pouvoir offrir aux jeunes géomètres le moyen d'étudier les travaux des maîtres delà science sans être jamais arrêtés par l'ignorance des principes sur lesquels ils reposent ; mais un tel programme s'étendrait presque sans limites, et j'ai du me borner, dans la mesure de mes foires et de mon érudition, à aplanir pour eux les premiers pas. On peut faire beaucoup mieux sans doute, mais sans parvenir, j'en ai la conviction, à surmonter tontes les difficultés. Peut-^tre même aurait-on tort de le regretter; rien ne peut suppléer à l'étude directe des grands maîtres, et en aidant les jeunes gens à s'en affranchir trop longtemps, il pourrait arriver qu'en facilitant leurs études, on retardât chez eux, pour bien longtemps peut-être, le développement de l'esprit d'invention.