LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

On a, en vertu du théorème de Maclaurin,

__zu (du\ f^ (^La\ x* (d* u\

\dx)o i.2\rf^r' /o i .2. . . n \ dx* /„

( (<F~) ' \d~ï) '"' \T^) ' indiquant 'es valeurs que prennent les dérivées de u par rapport à a:, lorsqu'on y remplace, après la différentiation, x par zéro. Ces dérivées doivent se déduire de l'équation (i) qui définit la fonction s, et la méthode générale, applicable à toutes les fonctions implicites, permet de les calculer successivement; mais l'emploi de la formule (a) simplifie notablement les calculs en permettant, comme on va le voir, de remplacer les différentiations par rapport à x par des différentiations par rapport à a: l'avantage de cette transformation est évident, car lorsqu'on différence par rapport à a, x est traité comme une constante, et il est indifférent de le supposer nul avant ou après les opérations. Or l'hypothèse x=o donne z = a9 et les différentiations indiquées portent alors sur des fonctions explicites et données de la variable a.

On déduit de l'équation (i)

dz . . , . .dz

et par conséquent

(3) dz = ytzJ

dx ! — X <p' ( z )

On déduit delà même équation (r)

dz , . ,dz

par conséquent,

(4) dz

clâ l — xy'(z) La comparaison des formules (3) et (4) donne

dz , sdz

En désignant paru une fonction quelconque de z, on aura

du du dz

dx dz dx

du du dz

da ~~ dz da*

31 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUI, DIFFÉRENTIEL.

et par conséquent l'équation (5) entraîne

« //M du du

Calculons maintenant -j-3i ^^•;,, en cherchant toujours, comme nous l'avons

annoncé, à remplacer les difierentiations par rapport à x par des différentiations par rapport à a. On a

d?Ji ji(dli\__d[ , ,<]*i\

dx* ~~ dx \dx) — dx L?^} da\ '

et, en vertu de l'équation (2) ,

Si l'on représente a, qui est une fonction de zf par /(s), on a

dx~J [z)di' et l'équation (7) devient

ë=-=['cy<')=]-«['t«w«'ï]-B[»<"=]' •

on en déduit

diu d^d'u d d r dul d d [ dul

dx* ~ dx dx* ~ dx da\?{Z) da\~ da dx\? {Z> da]'

et, en vertu de l'équation (2),

La loi générale s'aperçoit aisément, et l'on est conduit à écrire

d*u rf"-' r , % dul W ï&=dl^>b^'da\-

Pour démontrer cette formule, supposons que Ton ait déjà trouvé

</—' u __ rf»-2 r <///"]

dx^î-da^>\*[' diy

on en conclut

dn u ___ d*-x f \ -irfa"| __*"!. '' T a- '/m I