LIVRE SECONJ). - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 31 K

et, en appliquant successivement les formules (2) et (6),

dnu dxn

rf— ' T , , dnl

Pour calculer les dérivées ^1 (7^r"' j^7^0VS(lue *on suppose œ = o, il suffit

(T introduire cette hypothèse dans les valeurs que Ton vient de trouver, et comme toutes les différentiations sont prises par rapport à la lettre a indépendante de a?, il est permis de faire x=o avant d'effectuer les opérations; on aura alors

z =af t^ =/' (a), et la formule (8) donne

le développement de u, c'est-à-dire de/ (s), est par conséquent

Cette formule très-élégante, qui a été donnée pour la première fois par Lagrange, est connue sous le nom de Formule de Lagrange.

312. Laplace, à qui est due l'ingénieuse démonstration que nous venons d'exposer, a présenté le théorème de Lagrange sous une forme plus générale, mais la formule qu'il a fait connaître se déduit si facilement de la précédente, qu'il semble inutile de la désigner par un nom différent.' Supposons que l'équation (1) du paragraphe précédent soit remplacée par

(1) z = Y[a + xi(z)]t

et cherchons à développer une fonction/fs) en série ordonnée suivant les puissances de a-; posons

on aura

et par conséquent, en vertu de l'équation (a),

Le problème revient alors à développer /[F (/)] en série ordonnée suivant les puissances de x , ce qui est une application immédiate de la formule de Lagrange; on a ainsi

n ^ /nv -î n- ,ndf\Y(a)] jr7 d \i . „ ol, d f \Y(a)] /