LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 3Î

Dans cette équation la fonction F est arbitraire, et il en est par conséquent de

même de la dérivée F'. Posons F' (z) = -^--, on obtient

z __ a Iz — a) d i V(z — o)!2 d3

,(*)(*„),'(*) -^o)"1" f(z) Sirt hT^L"7^rJ de"* (fl)~K'"

Faisons dans cette formule z = o, et soit <p (o) = A , elle devient

a a i a2 d* , . à* o3 rf3 , ,. âr d*

et par conséquent

i i a i d* a} i rf5 a4 rf' , X1

f(a) A 1.2 A2 aa2 T 1.2.0 A1 da? T 1.2.3.40a4

*Sme dfe Bur matin.

321. Burmann a fait connaître une formule très-générale qui comprend comme cas particulier la série de Lagrange, mais qui est elle-même très-facile à en déduire; il a résolu le problème suivant:

Développer une fonction /(z) en série ordonnée suivant les puissances d'une fonction donnée F (z).

Pour résoudre ce problème, remarquons qu'étant donnée l'équation

(1) z = a-\rxi(z),

la formule de Lagrange permet de développer une fonction quelconque/(s) en

série ordonnée suivant les puissances de x, c'est-k-dire de * Si donc on pose

Cette équation déterminera 9 (z), et la formule de Lagrange résoudra le problème que s'est proposé Burmann.

322. Proposons-nous, comme application, de développer e?* en série ordonnée suivant les puissances de zêz ; l'équation qui détermine <p (z ) est ici

Si Ton pose a = o, <p [z) = e~bzf cette équation est satisfaite et l'équation (i) du paragraphe précédent devient

x = xe-'s9

la formule de Lagrange donne par conséquent pour le développement de ef* suivant les puissances de x ,

(2) e°'=i -t-ax-\-a.[a — *b) 1 2 ^- x*+. . . ,

c'est-à-dire, en remplaçant a; par sa valeur,

(3) e*' = i -hrtz^'-h a. (a — 26) hfl.(«- 36)* h -h

iSerâ d Abel.

323. La série que nous venons d'obtenir permet de démontrer une formule trèsgénérale et fort remarquable due à Abel. Considérons une fonction quelconque 9 (z)9 à laquelle nous n'imposerons que la seule condition d'être développable en série ordonnée suivant les puissances de ez:

(1) ?(2)=A, + A,eI + Aîeîï + Aïe» + ....

La formule (3) du paragraphe précédent donne, si l'on y suppose successivement z = o,z=:i, z = a, z = 3...,

&*= 1 -+-ae*-ha(a — 26) — ,+ «.( a — 36 )a s ■+-... ,

** = 1 -h 2 ne*6 -f- a (a — 26) — 1-r- -+-a.(<i— 3 6 )* 5-K ..,

e«a= 1 H- nûeM* H- a ( a — zb)n'e7nb-{- a.(a — 3by - -j-

Multiplions la première de ces équations par A0, la seconde par A, e*, la troisième par A2e2*..., on aura, en ayant égard à l'équation (1) et a celles qui s'en déduisent en changeant x en x -+- b, x-\-2b...,

<r(x+a) = <f{x)-\-ai'{x-\-b)-\ i '?"(*-+- *6)H-.. H - ' f{x-\-nb) + ....

Si l'on suppose, par exemple, <j>(x) = xm, on en déduit

(x-t-a)m = xm-hma{x-hb)m-1 -f- m*m ') a(a — 26 )(*?-+- 26)m-2-+-

Méthode des coefficients indéterminés .

324. La méthode des coefficients indéterminés a fait découvrir un grand nombre de séries importantes; elle est d'un usage très-rapide, mais on ne doit