LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

pas oublier qu'elle n'est rigoureuse qu'autant qu'un raisonnement préalable a légitimé la forme de développement adoptée. Sans cela les résultats obtenus ne peuvent pas être regardés comme certains.

Les démonstrations données dans le chapitre précédent autorisent à regarder une fonction quelconque comme développable suivant les puissances d'un petit accroissement attribué à la variable. Lagrange s'est efforcé, dans un ouvrage célèbre» d'établir à priori cette possibilité, mais les géomètres s'accordent a ne pas regarder son raisonnement comme concluant.

325. La formule de Taylor se déduit très-aisément de la méthode des coefficients indéterminés, dès que l'on a admis la forme du développement. Soit en effet

<p (x -f- h ) = A H- B h -f- CA* -f- D A5 -K . . ,

les coefficients A, B, C... étant des fonctions inconnues de x. Si l'on fait h — o, on en déduit

ff(x) = A;

en prenant ensuite les dérivées successives par rapport à h, et faisant dans chacune d'elles h = o, on trouve

?'(*) = B, ?"(*) = 2C, yw(x)=2.3.D,

et ainsi de suite, de sorte que la série -ne peut être autre que