LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

on en déduit

il faut prendre le signe — du radical afin que 9 (x) soit égal à l'unité pour x = o. On a donc enfin

?(*) = — ( ' — V' — 4*)> c'est-à-dire, en développant le radical,

*(*> = ;(; 4+ ^-4'* + et enfin

'2.4*6. ..(2/14-2) ou, ce qui revient au même,

on en déduit

équation que Ton peut démontrer directement, comme l'ont fait MM. Lamé et Hodrigues.

Sur une notation symbolique.

343. En faisant connaître l'expression de la nième puissance d'un produit dans laquelle figurent les mêmes coefficients que dans la puissance niime d'un binôme, Leibnitz a signalé d'une manière générale l'analogie qui existe entre les puissances et les différentielles des divers ordres.

Lagrange a développé cette idée en rapprochant à l'aide d'une notation symbolique plusieurs formules qui semblent au premier abord complètement indépendantes.

Convenons de traiter l'expression h- j- comme une quantité dont la puissance

*iièn"9 multipliée par <p(x), donne pour produit hn J * -> le théorème de Taylor pourra s'écrire de la manière suivante :

(') *([x + h) = e (tx.<?(x).

;m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On vérifie aisément, en effet, qu'en développant e ax suivant les puissances de l'exposant et ayant égard à la convention précédente, le second nombre devient identique avec la série qui représente <p[œ-t-h).

On conclut de la formule d)

Pour prendre la différence d' une fonction ç [x)> que Ton désigne habituellement

( kSL \ par A y (x)9 il faut donc multiplier symboliquement cette fonction par \e dx — \) ;

il est clair d'après cela que, pour prendre la différence seconde, il faut multiplier symboliquement par \e dx — \) , et que Ton a généralement

Vl(x)---\'e ■* — ij ?{x).

344. Lagrauge a eu l'idée d'attribuer dans la formule précédente une valeur négative à n, et d'écrire

mais il faut expliquer ce que signifient les deux membres de cette nouvelle formule et démontrer leur égalité.

Pour éviter une difficulté qui se présenterait dans ces explications, remplaçons d'abord 9 (x) par une dérivée ty'{x) ; écrivons donc

'[x) = \ed*-t) f(jr).

Nous exprimons par le signe A~! l'opération inverse de celle qui est exprimée par le signe A, c'est-à-dire que &r* ty' {&) a pour différence ty'(x)\ de telle sorte que

Quant au second membre, il faut, pour l'interpréter, concevoir que le facteur

soit développé on série ordonnée suivant les puissances de // -.- et que, dans cette série, (-^) t|/ <x) soit remplace par ^ •