LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 3 H

Pour que cette expression suit nulle, il faut que dans le développement de la fonction (4) H n'y ait pas de terme en t"; n désignant un nombre entier et positif quelconque, il faut que le développement ne contienne que des puissances négatives de t. D'ailleurs il ne peut pas contenir de puissances négatives dont le degré surpasse — p, puisque le développement de y ne contient pas de dénominateurs, et par conséquent on doit avoir

donc

»•___ ..Se

/ *^* ip __ Ru/^-t-B.^-'-h ... -f-Bp

* ~~ i , A,' " ~~ A,/' -4- A,, tP-~+ . . . -h i "

En développant y en série ordonnée suivant les puissances de /, le coefficient de /■sera une fonction de n remplissant la condition demandée et contenant p+i constantes arbitraires B0, B,, ..., Bp.

Soit, par exemple, l'équation

F ( x -f- a j — ia F [x -h i ) H- F ( x) = o ;

F [n) a, d'après ce qui précède, pour fonction génératrice

~/2 — 2.at-\-\ '

qui, décomposée en fractions simples, prend la forme

fc-h

(/ — a-hs/â2— i) (t — a—i/a1— i)' or on a

;/ — a-\-^a- — i) [a — vtfî — '; L a — V 'a* — * [a-h\a' — i/ |

/ c \ c/ fi | ' *' ]

\t — a — *Ja}— i y rt-f-v^ — i L «H-\/rtJ— i (m-v/rta i / "J

en sorte que le coefficient de tx, c'est-à-dire la fonction cherchée F (a?), est

F(jr)= -c r f i c/ r i

a — \/<ï — i [(a — S/ <*' — l)*\ a-\-\Ja2 — i [(a-h^a2 — i ;XJ Si a est moindre que i et égal à ces y, on a

= =cos?+ ^"sin?,

rt — y a7 — l cosy — y — i sin y

; = , = cos <p — v^ — l sin <p,

a -h y a» — l cos «p -h y — i sin<p

et ¥ œ) prend la forme

Acosary-h Bsinx<p,

A et B étant deux constantes lices a C et à C et par conséquent arbitraires. On a en ,.ffet ,

ros[(.r-t- i)<p-h<p] H-C0Sy = 2C0SyC0s(a:-f- i)<p,

et par conséquent, a étant égal à cos 9,

cos(jr-+-2)y — 2«cos(.r-+- i ) <p -f- cos y = o.

342. Binet a fait une application élégante de la théorie des fonctions génératrices à la solution d'un problème de géométrie déjà résolu par Euler.

De combien de manières un polygone de n côtés peut-Tl être partagé en triangles par ses diagonales?

Soit ABCDEF . . . YZ, un polygone convexe de n-+- 1 côtés. Désignons par PA le nombre total des décompositions possibles pour un polygone de k côtés. Dans chaque décomposition du polygone donné, le côté AB servira de base à un triangle dont le troisième sommet peut être l'un quelconque des points C, D, E, . . . , Y, Z. Au triangle ABC correspond évidemment un nombre de décompositions égal à Pw, au triangle ABD un nombre égal a P„,P3, à ABE un nombre égal à P^aP4 et ainsi de suite. Tous ces groupes étant essentiellement distincts, leur nombre total est Pw+I et Ton a

(, P^,= l\,-f- P,P^,H- P4PM ... -h P^.Ps-f P,.

Cette équation permet de former successivement les valeurs numériques de P4, P5, P6, ..., et d'en continuer le tableau aussi loin que l'on voudra; mais un artifice est nécessaire pour obtenir l'expression de P„.

Soit 9 (a?) la fonction génératrice de P„+a et par conséquent

(2) *(*)= I-hP»*-hP4*'-f- ••• P-M-a*" -+-..-;

on aura, en multipliant la série par elle-même pour former f (a?/,

ç(jr)*==i+*(P,4-P,)H-J:VPl + P,Pï+P4) + *1(P»4-P«P.-f-PiP. + P0 + --.,

c'est-à-dire à cause de l'équation ( 1 )

ou bien, puisque Ton a évidemment P,= 1,