LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Or on a

Si Ton déveroppe le second membre en série ordonnée suivant les puissances de x, (f{o) sera le produit du coefficient de af, par i .a. 3. . .p. Or on a

c" — i ri*x n*x* n*x*

En multipliant ces deux équations, on obtiendra le développement de ■ x__ ■ -> et le

coefficient de otf est, si/? est pair,

nBp

nP+l \ W B, nf~l B, yU»-' + a

I .2.3...(p-hl) 2 1.2.3.../? 1.2 I.2...(/? 1) 1.2.3.4 1.2. ..(/? 3) " 1.2.3.../?

et si/? est impair,

nr+x 1 /^ B, m-1 + ~~7~ w3

I.2.3...(/>-hl) 2 1.2.3.../? 1.2 1.2.3... (/? — 1) 1.2.3.. .(/? — 1)1.2

On a par conséquent, si/? est pair,

i-f- 2/» -h 3^ 4-. . . + (» — i)^= --wM j?/^'

- TOI /'^-,)(/,-"2) "'",+- • ' ±wB£,

et si /? est impair,

nP+l 1 B,

x ' p -ht 2 I .2 r

On trouve ainsi

II* 7i3 7ïJ

7ïfc II* /l3 I

l+a.+ 3.+.. . + (»-.)' = -- + I-w, I+a.+3.+...+(«Iy = ",2., + ^-ï,

W n* ns 1 1