La somme

que nous nommerons fp{n), est un polynôme entier de degré (/>+ i) en n, qui jouit de plusieurs propriétés remarquables.

On peut exprimer <pp{n) en fonction de (n — - \ il ne contiendra alors que des

puissances paires, si p est impair, et des puissances impaires, si/> est pair. fy(/i) est en effet, à un facteur numérique près, le coefficient deaf dans le développement de

eHX — i

Si nous désignons cette fonction par ty{x)9 le développement de la fonction ^ ( — x) que l'on obtient en changeant x en — x, ne diffère de celui de <|/(a?) que par le signe des termes de degré impair. Si donc/> est impair, le coefficient de af est le même que dans le développement de la fonction

éA '/ — e 2 e \ *' — e7 I

eÀ— e 'À e 2~— e* J

Or cette fonction ne change pas si Ton y remplace n — - par — (n — - ), le coefficient de af dans son développement suivant les puissances de x, est donc une fonction paire de n — -•

Lorsque p est pair, le coefficient de xP dans le développement de ^ (x) est le même que dans le développement de la fonction

yxx) + ^(— x) e»

et comme la partie variable de cette fonction change de signe sans changer de valeur quand on y remplace n — l- par — ( n — i ) , il en est de même de tous les coefficients de son développement suivant les puissances de x.