L'équation

étant, par définition, une conséquence de

Tu - z> et, par conséquent,

du d\z i

dz dz z

résultat facile à vérifier directement d'après la valeur de \z.

372. Définition de zmpour unevaleur quelconque de m. — Si l'on fait z = x -hy \' ' — 1 , on a, d'après ce qui précède,

(0 z = eP+*'/~,

pètq ayant les valeurs trouvées au paragraphe (370). L'expression zm est donc équivalente à

(2) ^eit¥fnrl)^a

Pour élever l'exponentielle à la puissance m, nous admettrons, comme définition, qu'il faut multiplier 1'exposanJ, par m et nous poserons, en conséquence,

(3) -m = emP+mq>/- ^

q contenant dans son expression un multiple arbitraire de 2tt, qui, sans influer sur la valeur de l'expression (i), change, au contraire, après la multiplication de q par m, la valeur de l'exponentielle (3) ; zm n'est donc pas une fonction bien déterminée de z.

Si l'exposant m est réel et égal à -> h et g étant entiers, on aura

z* = eg s =eg(coi>—-hJ — isin-^]* \ g 81

et si, dans cette expression, on remplace, comme cela est permis, q par q -+- 2 An,

elle prendra un nombre de valeurs distinctes précisément égal au dénominateur g.

Si l'exposant m est imaginaire et égal à r(cosw -h ^ — 1 sinco), on aura, en

posant

p + qsj—i = p(cosf-f-^ — 1 sin?),

cette expression 'fournissant d'ailleurs pour zm une infinité de valeurs distinctes, puisque l'angle 9 qui y figure dépend de l'expression p -h qy/—i9 dans laquelle il est permis d'ajouter à q un multiple quelconque de in.

Sur les fonctions qui sont mal déterminées.

373. Parmi les fonctions que nous venons de définir, il faut distinguer avec soin ezy sinz, cosz, tangz, et zm lorsque m est entier, qui sont des fonctions bien déterminées. Chacune d'elles, pour une valeur réelle ou imaginaire de z9 est définie sans ambiguïté. Lesfonctions \z, zm, lorsque m n'est pasentier, admettent, au contraire, pour chaque valeur de z, plusieurs valeurs distinctes également conformes à leur définition. Il est important cependant, dans un grand nombre de cas, de pouvoir préciser celle dont on veut s'occuper, et nous allons donner sur ce point quelques développements.

Lorsque l'on considère des valeurs isolées de x et de y, la définition laissant, par hypothèse, la fonction indéterminée, on peut adopter indifféremment l'une quelconque des expressions qu'elle fournit; mais, ce premier choix une fois fait, si Ton fait varier x et y à partir des valeurs primitivement considérées, les valeurs successives de la fonction supposée continue sont en général déterminées, et toute ambiguïté disparaît.