LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soit, par exemple, y {x-hy>J — ») une fonction dont la définition, quelle qu'elle soit d'ailleurs, laisse subsister, pour des valeurs données de x et de y, une certaine indétermination, permettant de choisir entre des valeurs distinctes; dans certains cas, lorsque par exemple <f{x + y\j—\) =1 (^-f-yV^1)» 'e nombre de ces valeurs est infini.

Attribuons à x et à y des valeurs initiales x09 y09 pour lesquelles nous choisirons arbitrairement, parmi les valeurs conformes à la définition, celles que nous voulons adopter pour représenter y{x0-{-y0 y/— i). Faisons ensuite variera? ety d'une manière continue etsuivant une loi telle que le point dont a? ety sont les coordonnées, décrive sur le plan une courbe arbitraire commençant au point dont les coordonnées sontx09y0; la condition de varier infiniment peu lorsque la variable change ellemême infiniment peu, dissipera toute ambiguïté, et Ton devra adopter, en chaque point, pour la fonction, la valeur, en général unique, qui, satisfaisant à la définition, diffère infiniment peu de celle qui correspond au point infiniment voisin qui précède. Une seule exception correspond au cas où, pour l'un des points considérés, deux valeurs de la fonction deviendraient exceptionnellement égales entre elles; si la loi de continuité conduit à adopter ces valeurs, en continuant a suivre la courbe qui représente la loi de variation de x et de y, on se trouvera, pour un point infiniment voisin de celui dont il est question, en présence de deux valeurs infiniment peu différentes Tune de l'autre qui, satisfaisant l'une et l'autre à la loi de continuité adoptée comme critérium, pourront être acceptées toutes deux; ces valeurs se sépareront ensuite et acquerront une différence finie, en sorte que l'ambiguïté reparaîtra pour tous les points situés au delà de ce point critique où elle a pris naissance.

La définition de la fonction \x-\-y\1— 1, lui assigne deux valeurs égales et de signes contraires, qui deviennent égales pour x = o, y = o; c'est donc, pour cette fonction, par l'origine des coordonnées qu'on devra s'abstenir de faire passer la courbe qui représente la série des valeurs de x et dey.

Pour la fonction \(i-\-x +yyj — 1)» le point critique correspond aux valeurs y = 0, x = — 1, pour lesquelles toutes les valeurs du logarithme deviennent infinies.

374. Il ne faut pas croire que, pour définir avec précision l'une des valeurs d'une fonction <p(x -+-y\l— 1), il soit nécessaire de spécifier la courbe qui réunit le point correspondant aux valeurs choisies de x et de y au point arbitraire pour lequel le choix a été fait d'abord. On conçoit, en effet, que les valeurs possibles de la fonction ne formant pas une série continue, le changement dans la forme delà courbe étant supposé se faire graduellement et par un mouvement continu, la fonction doit nécessairement rester invariable jusqu'au moment où se produit un changement brusque qui lui fait acquérir une valeur nouvelle, et recevoir tout à coup un accroissement

37 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fini. S'il s'agit, par exemple, de la fonction \(x^-y\j— i), pour des valeurs don nées de x et de /, on sait que, si elle change, elle ne peut s'accroître que d'un multiple de arc v;— 1 • Or nous allons montrer que ces changements brusques ne sont possibles que quand la courbe, en se déformant, franchit l'un des points qui correspondent aux valeurs égales, infinies, ou indéterminées de la fonction.

Considérons en effet un point initial A ayant pour coordonnées x0 , y0 , et soit un point B dont les coordonnées sont x%9 y% ; supposons qu'un point mobile M parte de A et se rende en B en suivant une certaine courbe; si Ton se donne en À la valeur de la fonction ç(a?0-f-j0 y/— 1), la condition que nous lui imposons d'être continue, déterminera celle qu'il faudra adopter en B pour la fonction (f{x^yi yj— 1 ) lorsque x et y auront été pris successivement égaux aux coordonnées variables du point mobile M. Supposons ensuite que Ton passe du point A au point B en suivant une courbe infiniment peu différente et telle, qu'aucun des points dont nous avons

parlé ne soit compris entre elle et la précédente; en adoptant pour ?(#$-+- Jo \J— ") la même valeur que dans le cas précédent, on trouvera la même valeur aussi pour (p(xl -+-yi V— 1). Concevons en effet que deux points mobiles M et M' parcourant nos deux courbes, partent en même temps de A, pour arriver en même temps en B, et suivant une loi telle, que leur distance soit constamment infiniment petite. Lorsque le point M parcourt la première courbe, les valeurs que prend successivement la fonction sont déterminées par l'obligation de former une suite continue; mais, pour chaque point considéré isolément, la définition de la fonction permettrait de choisir entre diverses valeurs toujours inégales par hypothèse. Soit A un nombre moindre que le plus petit module de la différence entre deux valeurs possibles de la fonction en un point quelconque de cette courbe; il est clair que pour deux points infiniment voisins dont l'un est situé sur la courbe, le module de la différence entre deux valeurs de <p compatibles avec la définition de la fonction, sera aussi supérieur à A, s'il n'est pas infiniment petit. Au point initial dont les coordonnées sont x09 y09 la valeur de la fonction a été choisie, et lorsque les deux courbes sont parcourues simultanément par des mobiles partant de ce point, la différence initiale entre les valeurs de la fonction est nulle et a zéro pour module. Ce module étant assujetti, comme nous l'avons dit, à la condition d'être toujours infiniment petit ou supérieur à A, ne peut, à aucun instant, cesser d'être infiniment petit, car il devrait, pour cela, changer brusquement de valeur pour devenir supérieur à A. Lorsque les deux points arriveront ensemble en B, les valeurs correspondantes de ç différeront donc infiniment peu, et cela ne peut être sans qu'elles soient rigoureusement égales, car au point B toutes les valeurs possibles de la fonction sont par hypothèse distinctes et leurs différences ont des modules finis.

Si les deux courbes comprenaient, entre elles, un des points pour lesquels deux va-