LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

vant pas devenir infini lorsque le point dont les coordonnées sont x et y reste dans

l'intérieur du cercle, arc tang • f reste compris entre — - et -h -» ce qui fait

disparaître toute ambiguïté.

Si, par exemple, on pose

x-\-ysj — i = cos<p-f- v^— » sin<p, on trouve aisément

1 (i -+- cos <p -h v^— Tsin?) = I ± ( 2cosr<p j ±^ — i arc tang l tang -?) *

le signe ±: qui précède cos - y dans le premier terme, étant tel que le logarithme porte sur un nombre positif, et le coefficient de y^— i étant compris entre — - et -+- -• La valeur la plus générale de arc tang ( tang - y ) est

et la valeur du nombre entier k9 pour laquelle cette expression est comprise entre — - et -h - est évidemment unique.

Si l'on n'apportait aucune restriction aux valeurs intermédiaires que a? et 7 peuvent prendre en passant des valeurs initiales a? = o,j = oà celles que l'on veut considérer, les conclusions précédentes ne seraient plus applicables; l'angle dont la

tangente est -^— est l'angle formé avec l'axe des X par le rayon vecteur qui réunit

le point mobile au point fixe A, dont les coordonnées sont y = o9 x = — 1; si le rayon vecteur fait plusieurs révolutions autour de son origine fixe, l'angle augmentera d'un nombre égal de fois 21t. Si, par exemple, on suppose que les valeurs successivement attribuées à x et à y soient les coordonnées des points de la courbe fermée indiquée sur la figure, qui part du point 0 et qui s'y termine,

la valeur initiale de 1 (1 -+-2), correspondant à z == o, étant toujours supposée nulle,

lorsque z reprendra la valeur zéro après avoir reçu les valeurs intermédiaires qui correspondent aux points de la courbe OMM'M"0, on devra prendre

arctang — - — = l\ n9 et Ton aura

l(H-*)=l(i)=4ir/37.

La fonction 1 (i-f-z), si Ton veut qu'elle soit continue, est donc essentiellement indéterminée, de même que (i-f-z)"1, lorsque Ton n'impose aucune restriction aux valeurs que peut recevoir z.

Développement en série des fonctions imaginaires.

378. Certaines fonctions imaginaires sont définies par les séries qui les représentent; telles sont les fonctions ezf sinz, coss: celles-là sont développables pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z, en séries ordonnées suivant les puissances de la variable z dont elles sont des fonctions continues, toujours finies et déterminées. Une définition analogue est impossible pour des fonctions telles que l(n-z) et (i-hz)"1, dont les développements ne sont convergents que pour certaines valeurs de la variable, elle conduirait en effet à admettre que pour toutes les autres valeurs la fonction cesse d'exister.

Si l'on posait, par exemple, comme définition,

il faudrait regarder l(n-z) comme infini, et par conséquent la fonction commecessant d'exister, pour toute valeur de z dont le module surpasse l'unité. 11 y aurait le même inconvénient à prendre comme définition de la fonction (i-f-s)m la série connue qui la représente lorsque z est réel et moindre que l'unité.

On peut d'ailleurs reconnaître à priori que les résultais auxquels nous a conduit l'étude des fonctions, l(n-z), (r-hs)"1, sont incompatibles avec l'existence d'une série ordonnée suivant les puissances de z et représentant pour toute valeur de la variable, l'une ou l'autre de ces fonctions. La série, en effet, ne pourrait, pour ebaque valeur de z, fournir qu'une seule valeur delà fonction, tandis que (376, 377) les définitions en indiquent plusieurs qui sont inséparables les unes des autres.

On ne résoudrait pas la difficulté en supposant l'existence de plusieurs séries distinctes en nombre égal à celui des valeurs de la fonction, car chacune d'elles représentant une fonction continue et déterminée, leur ensemble ne pourrait pas partager cette propriété singulière reconnue a la fonction, de ne pouvoir être continue qu'à la condition d'échanger entre elles ses diverses valeurs, lorsque, après des variations, convenables, la variable reprend sa valeur primitive.