Considérons enfin la fonction

qui, pour chaque valeur de z, a, par définition, une infinité de valeurs distinctes qui deviennent toutes infinies quand on suppose z = — i . Pour z = o, on a

u = 1 1 = ik* \j — i.

Prenons A = o et supposons, par conséquent, que, pour z = o, u se réduise à zéro.

Si 3, partant de la valeur zéro, change d'une manière continue, et que la courbe dont les points représentent ses valeurs successives ne passe pas par le point qui correspond à z= — i, les valeurs successives de I(ih-s) seront déterminées, et si Ton veut que z devienne égal à x, -+- j, \/— i > la valeur correspondante de u dépendra de la courbe par laquelle on aura réuni l'origine au point dont les coordonnées sont xs , yK , mais elle restera invariable si cette courbe se déforme sans traverser le point correspondant à z = — i , pour lequel toutes les valeurs de 1 (i-h s) sont infinies. Cette condition sera évidemment remplie si l'on assujettit, comme dans le cas précédent, le module de z à rester inférieur à l'unité. En adoptant cette convention, à chaque point intérieur au cercle de rayon unité décrit de l'origine comme centre, correspondra une valeur déterminée de u que nous allons calculer.

On a (370)

l(i -hJ-f;V-ï) = -![(» -t-.**)2-f- v']-W~arctang ( '. )>

et il s'agit seulement de décider parmi les arcs dont la tangente est • , ' 4ue' esLcelui que Ton doit adopter. Or, par hypothèse, poura? = o, y = o, on a

par conséquent arc tang — - — doit être pris égal à zéro. Cela posé, ^ ne pou—