LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

la série qui figure dans le second nombre devant être prolongée jusqu'à ce que les ternes deviennent égaux à zéro. Cette fonction P„ est ce que devient la fonction Xn définie (315), lorsqu'on y remplace x par cosô; tous les coefficients étant positifs dans le second membre de l'équation (2), on voit que l'hypothèse 6 = 0 lui fera acquérir sa valeur maxima ; cette valeur est le coefficient de a" dans le développement de

(i-îa-fa1)"1 =

Il est donc égal à l'unité, et puisqu'il est la valeur maxima de P„, la fonction X» est toujours moindre que l'unité lorsqu'on y suppose x = cosô, c'est-à-dire quand on lui attribue une valeur quelconque comprise entre — 1 et -h 1 .

390. Supposons enfin une fonction y définie par l'équation (1) langj=cos a. langue.

Cherchons le développement dey en série ordonnée suivant les puissances de tangî.

L'équation (1) équivaut à

ou bien

on en déduit

— ;=— ==cosa — — — ,

= COSa

gvV^+i e*"!-* -+- 1 '

e T -h tang' -

^rr. ^fM-»+ cos«(«»«^-») = * + tong 2

ou enfin