On a trouvé

, . x x B,a2 B,x* B3JC6

(ij — — 1 '

ez— 1 2 1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 "■''

B«, B2, B3,... étant les nombres de Bernoulli dont la valeur a été donnée. Or on a (369)

En développant -^= — a l'aide de la formule ( 1 ) dans laquelle on change x

en 2x\l— 1, on a

cot^r =

/ — ( r » 1 « 2x\i — 1 ~ (20;/— ijs 11

V— 1 1+2 — = h B, — ï B, - — y-ir7L ••• J

I [îj^-i 2 1.2 1.2.3.4 -M

et en réduisant

i 2». Bxx 2«B, xl 2« B3 *s 2'—'B. Jjt,

il est facile de vérifier la concordance des premiers coefficients avec les valeurs numériques trouvées (304).

388. Le développement de cota? permet d'en obtenir plusieurs autres; on a

tangx = cot x — 2 cot2 x, < et Ton en déduit

cosec x = lang h cot x ,

tang*=2'(2'-i)^ + 2<(2<, Î}B,*? + 2<(*' '>ft*»+.,.. 1.2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6

coseca:=- +2(2 — 1) a: -h— -£-, ha. v ',' -h...,

nous trouverons plus loin les conditions de convergence de ces diverses séries.

389. Reprenons la fonction (1 — 2<zz -h aa)~ï déjà considérée (315); remplaçons z par cos0, et cos0 par sa valeur

on aura, comme on le vérifie aisément,

(l 2aC0SG-haîp = (i— ae'^)"" (l — ae^'V^p .

En appliquant la formule du binôme à chacun des deux facteurs du second membre, on a

(.-««-•ip-.p =I+iae-^-+i4(a,^^)j4-...

Soit P„ le coefficient de ocn dans le produit de ces deux séries, on a, comme on le voit aisément,

Pa = cosnOH rC0s(/i — 2)0

3 s; ; r i « tua»* v — \ , .