Reprenons actuellement les deux équations

u = a-+-xtf[u9v),

v = b-t-y$(tt9v).

Cherchons à développer une fonction F (a, v) que nous représenterons par z9 en série ordonnée suivant les puissances de x et de y. Posons, pour plus de simplicité,

i' — b = vx ;

les facteurs 9 et ty deviendront des fonctions données de m, et de *>,, et Ton pourra, en supprimant les indices, remplacer les équations proposées par

<f et ^ désignant toujours des fonctions données de u et de p. Soit

(3) z = l\"xmy"

le développement de la fonction z. Pour déterminer le coefficient A™, multiplions

l'équation (3) par

dx dy dx dy du dv dv du

Si Ton développe ensuite les deux membres en série .ordonnée suivant les puissances de u et de p, x étant, ici proportionnel à u, et y à p, pour de petites valeurs de u et de v9 le seul terme en — dans le second membre proviendra, d'après ce qui précède, du terme en af*y9 et aura pour coefficient A^ ; A", est par con séquent le coefficient du terme en — dans le développement du premier membre

dx dy dx dy

du ïïv dvHû

expression que Ton peut écrire de la manière suivante :

i Vdx~m dy-"1 dx~m dy-*~\ i rdx-™ d dx~m d(zy~*)

mn \ du dv dv du J m n I du dv ^ dv du

d ( dz\ d*z dy-" dz darm dzl

du \ J dv] J dudv du dv J dv du\

Or les termes

dxrm d , . dx~m d , , d ( dz\

ne donnant pas (398) de terme en ~> l'expression (4) peut être remplacée par

i / ro n d2z m dy~" dz H dx~m dz\

mn \ * dudv X du dv * dv du ) '

dans le développement de laquelle le coefficient de — sera égal à A"'. En rempla-

çanta? et/, -^> -£ par leurs valeurs déduites des équations (a), cette expression devient

/ i . d2z i . dû dz i , , dodz\

\m/iT T dudv mT T </m gf nT T dudv) __

Le coefficient de — est évidemment celui de m"1-1 </*-* dans le développement du numérateur, c'est-à-dire, d'après la formule de Taylor,

\mn9 * dudv^ m* * du dv^ nY ? <fa rfc/