LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. J
Si l'on pose en effet
/= A, x,Ul x'x -hA^'j^-h • . . -+-AmyP*xVm-h. . . , on en déduira
\.f=l.A,yHx*'-+-]. (i + ^^'^-'i + ... V
Le secofid terme étant de la forme 1. (i -h u) est développable en série ordonnée suivant les puissances de w, et par conséquent suivant celles de x et de y; le premier n'est pas développable, mais il a pour dérivée par rapport a x, -, et par rap-
df df port aj, ^, en sorte que -^ et -^--S c est-a-dire -j, —-, sont 1 un et lautre déve-
loppables en séries ordonnées suivant les puissances de x et dey. H en est donc de df df
même des produits— -j, — -j-> et les dérivées de ces produits ne peuvent pas,
par conséquent, contenir de termes en — -
Lorsque p est nul en même temps que q, la démonstration est de nouveau en défaut, et cette fois la conclusion cesse d'être exacte. Le développement de l'expression
rf? d£ dff df
• dx dy dydx
contient en général un terme en — On a en effet
dy df dy df
dil^~Tyti dLy </L/ dLy d\.f fy dx dy dy dx
Soit
f(x,y)ï=BtXm>yn< + Bixm*yn* + . .. ;
on en déduit
|.<p(#,r)=l.A,^'/v'-H. |i+i,^rYrH...j»
i^=ij/y.+i.(. + ^^YrB,+-4
Si l'on développe en série les seconds termes de chacun des seconds membres,
m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,
et qu'on prenne les dérivées par rapport à x et par rapport à y, on déduit des équations précédentes :
dl.ff{x9mr) = p. p
dx x '
rf'-f(«.r) = ;. Q
dy y
dl.fjx, y) = m, ^ R d\.f(x9 y) __*.-
aucun terme en -ne.se trouvant dans les séries désignées par P et R, et aucun terme en - dans les séries Q et S. D'après ces formules, le développement de l'expression (4) contient évidemment un terme en — qui a pour coefficient
xy
Pi nx — v, m,.
On doit remarquer que, d'après le procédé même indiqué pour obtenir le développement, une même fonction peut donner lieu à des séries différentes, car jx|f v,, mi9 nS9 désignent ici les exposants de x et de y dans les premiers termes des séries (5)f c'est-à-dire évidemment dans deux termes quelconques que l'on aura choisis pour les écrire les premiers. Mais si l'on veut que les séries soient convergentes pour de très-petites valeurs de x et de j, le choix devient forcé, et la condition est souvent même impossible à remplir. Si, lorsque x est infiniment petit, o(x9y) peut être considéré comme proportionnel à a?, et/(x9y) kyf on devra
prendre /x, = i , v, = o, m, = o, /i, = i, et le coefficient de — sera l'unité : c'est
xy
la supposition que nous ferons dans les raisonnements qui vont suivre; mais on
voit ici combien le raisonnement de Jacobi laisse a désirer du côté de la rigueur.
