LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

celles qui proviennent de la seconde, on trouve

Le module depn-\-qn ^— i ne grandissant pas indéfiniment, /*„ et qn restent l'un et l'autre inférieurs à une certaine limite, et par conséquent la convergence des séries dont les termes généraux sont les valeurs absolues de an et de bnf prouve que les seconds membres des équations (5) sont l'un et l'autre infiniment petits, quel que soit r, lorsque n est infiniment grand; pn et qn tendent donc vers des limites déterminées, et, comme nous l'avions annoncé, le produit est convergent. Par exemple, le produit

est convergent, quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires de a et deb; il faut considérer ici comme facteur général le produit

Nous devons donc poser

r — ia

Or, quels que soient a et 6, la partie réelle et la partie imaginaire d'une telle expression sont, l'une et l'autre, pour de grandes valeurs de n, de la forme -\<> kn restant fini

lorsque n augmente indéfiniment, et comme la série dont le terme général est ~v est

convergente indépendamment des signes de ses termes, le produit (6) est lui-même convergent.

11 faut excepter, bien entendu, le cas où le rapports étantentier, l'un des facteurs

du produit serait infini.

Expression de quelques fonctions sous forme de produits infinis.