Expression de sina?. — On a trouvé

/ . ni2 — i . , (m2 — i)(ma — o) . t \

(i ) smmx = m sinx — sins.r-f- 1 , ^ * sinsjr — • • r

Lorsque m est un nombre entier impair, le second membre de cette équation est composé d'un nombre fini de termes, et se réduit a un polynôme de degré m ordonné

il i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

suivant les puissances de sina?. La formule peut dans ce cas être démontrée plus directement et déduite des formules fondamentales qui expriment sin(a-+-è) et cos(a-hft) et permettent, comme on sait, de former les sinus et cosinus des multiples d'un arc en éliminant, dans le cas actuel, les puissances du cosinus qui sont toutes de degré pair.

Cette démonstration a l'avantage de s'appliquer aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de l'arc x.

En supposant m entier et impair, le second membre de l'équation (i) étant un polynôme de degré m, peut se décomposer en facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de l'équation sin/wa? = o, dans laquelle on considère sina: comme inconnu. Toutes ces racines sont réelles, comme on sait, et égales à o,

±sin— , zhsin— , ••> ztisin ~ — ; on a, par conséquent, en désignant parC

une constante indépendante de x,

s\nmx

= Csinx (sin2.r — sin2 — | (sinVr — sin2 — )-'(sin2,r — sin* — ) »

ou, ce qui revient au même, en posant

Csm* — «sin2 — m m

sînm#=C'sin.r

Dans cette formule, m désigne un nombre entier impair et x un arc quelconque réel ou imaginaire.

Si l'on suppose x infiniment petit, le premier membre peut être remplacé par mx et le second par Car, C est donc égal à m, et la formule devient

(•->.) sin mx = m

(sin2.r\ / s\\\2x \ / sin2.r \

Posons mx = z9 et supposons que, z restant invariable, m augmente indéfiniment; le second membre deviendra un produit d'un nombre infini de facteurs. Cherchons son expression limite.

Lorsque m augmente, a?, égala — > est infiniment petit; sina? peut donc être reni-

sin'jr

placé par — i et m sin a? par z. L'un quelconque des facteurs

sin2 — m

peut, par la même raison, être remplacé par la valeur limite,

l'équation (2) devient donc, à la limite,

(3) sin2 = z{l-S){'-^)---{l--^p)--

mais il est indispensable de compléter la démonstration, qui n'est pas rigoureuse. Il est bien vrai, en effet, que dans le second membre de la formule (2) un facteur de rang déterminé k9 s'approche autant qu'on veut de la limite que nous lui avons assignée ; mais, pour chaque valeur de m, le produit contient des facteurs pour

lesquels la substitution n'est pas permise, car lorsque k est comparable à /w, — n'est

pas très-petit et le raisonnement n'est plus applicable. Les deux produits

sm2

qui tendent à se confondre dans leurs premiers facteurs, cessent donc de s'accorder pour ceux dont le rang est comparable au nombre m. \\ faut prouver que cependant ils ont même limite. Il suffira pour cela d'établir qu'en prenant dans chaque produit un nombre suffisamment grand, mais fini, de facteurs, les produits de ceux qui restent différent, dans l'un et dans l'autre, aussi peu qu'on le voudra de l'unité, car alors, ces facteurs n'ayant pas d'influence sur le résultat limite, il importe peu évidemment que l'on puisse ou non les substituer individuellement les uns aux autres.

Pour que cette double condition soit remplie, il suffit évidemment que les produits (4) et (5) soient4'un et l'autre convergents et pour cela (403) que dans les séries

sin7.r

sin* —

z2 sin' x

sin* — m

les parties réelles et les coefficients de V~ * forment des séries convergentes indé-

pendamment des signes de leurs termes. Or ces séries peuvent s'écrire

7T2 4^ 9ff2

m2s\T\2xl m2 i m2 i m2

Les facteurs placés hors de la parenthèse qui seuls contiennent \ — i, n'influent évidemment pas sur la convergence des séries a examiner, et tout se réduit à prouver que les séries à termes positifs placées dans les parenthèses sont convergentes; cela a lieu évidemment pour la première, et Ton s'assurera qu'il en est de même de

la seconde en remarquant que le rapport d'un arc moindre que - a son sinus, est

moindre que -> et que par conséquent les termes de la seconde série sont moindres que ceux de la suite convergente

Les deux produits (4) et (5) sont donc convergents, et cela, comme nous l'avons dit, permet d'affirmer qu'ils ont même limite.

On a donc enfin, pour toute valeur réelle ou imaginaire de x,

sin* = . (,-£)(,-£) (.-;£)..-