LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

41 1 . Reprenons la formule (409 )

X 1t-\-X 7T X 27T -+- X IV X

on a (387)

a cotx = x ^... — ;**- •.

et évidemment pour toute valeur de k,

1 I ?.x ^__ IX / X7 X* \

lin-hX~ k* — X~~~~ Aa7r' — *'~~~~~ W~2 V1"1" Z7^ "*" Â7^7 "*" '" /

Il est donc facile de développer le second membre de l'équation (1) en série ordonnée suivant les puissances de x9 et Ton obtient, en égalant les coefficients de x*n- \

B„ . a2"-' tt5" iii

412. La formule précédente donne l'expression approchée des nombres de Bernoulli lorsque l'indice n devient un peu considérable. En effet, le second membre de l'équation (3) diffère fort peu de l'unité et Ton a, avec une erreur relative d'autant moindre que n est plus grand,

On voit que les nombres de Bernoulli croissent avec une très-grande rapidité. 11 résulte de l'équation (4) que dans la série

le rapport d'un terme au précédent a pour limite 7-5- Cette série, qui représente ? devient donc divergente pour les valeurs de x supérieures a 271; cela est

d'accord avec ce qui a été dit (378). La fonction —^— est en effet infinie pour

x = 2it v — 1 , et ne peut par conséquent pas être ctëveloppable en série ordonnée suivant les puissances de x pour les valeurs dont le module surpasse in.