LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

qui» en négligeant le terme en s, se réduit à

dy>r" Si donc on désigne par j3, et /3a les fractions

${x,yx) ${x9y%)

la somme des deux fractions (6) se réduit à

|3, et /32 sont des fonctions de x, qui, pour x = x'9 prennent la même valeur, et si leur différence est de même ordre que >?,, la somme (6) a une limite finie. Or il en est évidemment ainsi, car, pour obtenir /3, et /32, il faut, dans une même fonction, remplacer x par x! et y par y' + y?, , y' — r\x , et il est clair que la différence des valeurs obtenues est proportionnelle à rç, .

Nous pouvons donc réduire le second membre de (3) à la somme des résidus relatifs aux valeurs de x, qui annulent les dénominateurs, et Ton a enfin

r ri*)-? iiïilL—.

d% (la d* dp

On sait (442) que le résidu total £ F (a?) est nul pourvu que le produit xF (x) se

réduise a zéro pour une valeur infinie de x; cherchons dans quel cas cette condition est remplie. On a

Lorsque x augmente indéfiniment, yt9y29».9yHt s'approchent d'être les racines d'une équation homogène en x et y, et leurs rapports à x tendent, en général, vers des limites finies, en sorte que l'ordre de grandeur des diverses fractions qui composent le second membre est celui d'.une puissance de x, ayant pour exposant l'excès du degré du numérateur sur celui du dénominateur. Si m est le degré de ty, et n celui de 9, le dénominateur est de degré m -h 71— 1. Sidonc^estde degré m-hn— 3,

le second membre est comparable à \ > et son produit par x tend vers zéro lors-

que x augmente ; on a donc

et par conséquent

idy dty df dty dp ~dli~~dl d~$

EXERCICES