LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
Dans le calcul de la dérivée ***•?*' , \\ faut observer que y, est une fonction de x définie par l'équation y (x,y) = o; on a par conséquent
dr
2£ étant fourni par l'équation
on en conclut
dx
d$ d\ dy
~~ dx dy dx
dy dx
dy dy
dy dty dy d$ dr dx dx dr
dx
dy
dr
et le résidu relatif à x = a devient
/5> p f(xtyp)(x-*) /(2,P) W«..a
\rfrrfjr dxdyj^fi
Les lettres a, j3, placées à droite des parenthèses, indiquent que l'on doit, après les opérations, remplacera: par a et / par ]3. La fonction/(#, y) est jusqu'ici arbitraire ; si nous posons
dy
le résidu deviendra
I dy d$ dy dty\ \dydx dxdy/y^
et la somme de ces résidus est précisément la fonction symétrique que l'on veut calculer.
Le second nombre de l'équation (3) contient encore les résidus relatifs aux valeurs de a; qui rendent infini l'un des numérateurs. D'après le choix fait pour la
fonction/(#, y) ces valeurs sont celles pour lesquelles on a y = o, et pour lesquelles par conséquent deux racines de l'équation <p (x, y) = o deviennent égales entre elles. Or nous allons montrer que les fractions qui répondent à ces deux racines, et qui toutes deux deviennent infinies, ont une somme finie; il sera évi-
dent alors que la somme de leurs résidus est égale à zéro» et par conséquent le second membre de l'équation (3) se réduit à la somme des résidus déjà calculés, c'est-à-dire à la fonction symétrique dont nous cherchons la valeur. Soient
(DJ -7 h T j
les deux termes de (2) qui, pour une même valeur de x, x = x\ deviennent infinis en même temps. Si l'on pose x=x' -\-i% e étant infiniment petit, les racines j, et j2f qui, par hypothèse, deviennent égales pour x = x', différeront infiniment peu. Soit
y%*y*>"**yn étant déduites de l'équation 9 (x, y) = o, on aura
j(a?'H-i, / + rtl) = oy
f(x'-\-*9 f + rtt) = Of
et puisque e, >?, et y)2 sont infiniment petits, et que l'on a par hypothèse
do
ly ces équations se réduisent à
do
par ou Fou voit que yj, et >]2 peuvent être regardés comme égaux et de signes contraires et infiniment grands par rapport à e qui est comparable à leur carré. Il résulte
de là que les facteurs-^ et -A> qui figurent aux dénominateurs des formules (6),
sont proportionnels à >?, et à vja; -2 étant nul en çffet pour x = x',y=y', lorsque x' devient x' + e, et y' y' -h y)> il prend la valeur
d'o dU
dydx'^dy***
