LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

En appliquant le théorème de Taylor, et remarquant que Ton a F (a, h) = o, l'équation (2) devient

rfF rfF

(3) o = -T- Rcos u -h -rr Rsina-4-MR2,

M ayant une limite finie lorsque R tend vers zéro ; l'équation (3) peut s'écrire

rfF rfF .

o = -T- cos u -h -rr sin u -f- MR ,

et la valeur de a qui y satisfait, lorsque R est infiniment petit, diffère évidemment fort peu de la valeur u, pour laquelle on a

rfF .rfF

c'est-à-dire

rfF db

-r- cos m, -f- -jr sin «, = 0.

da db

rfF

tang«l= — ^p,

qui correspond à une direction unique et déterminée, puisque, par hypothèse,

-y— et -3JT- ne sont pas nuls tous deux.

Les rayons vecteurs qui réunissent le point M aux points d'intersection, font, d'après cela, des angles infiniment petits avec une même droite, et la courbe a par conséquent en M une tangente unique. Mais cela n'exclut pas encore tous les genres de points singuliers, et il faut prouver qu'il n'y a en M, ni point de rebroussement, ni point multiple, où se croisent plusieurs branches de courbe ayant même tangente. Pour cela nous démontrerons que la tangente, dont l'existence a été démontrée, coupant le cercle de rayon R en deux points diamétralement opposés P et Q, la courbe proposée le coupe elle-même en deux points seulement, dont l'un est infiniment voisin de Pet l'autre de Q.

Considérons, en effet, à droite et a gauche du point Q, et sur le cercle PQ, deux points IetF correspondant à des rayons MI, MI', inclinés sur MQ d'un angle donné a; faisons varier u> d'une manière continue, depuis la valeur m,— a qui correspond au point I', jusqu'à uk-\-ol qui correspond au point I, et examinons la

variation correspondante du premier membre de (3). Il devient pour m = u, — a

et pour u = u{ -ha

Posons

rfF rfF

-T- cos(m, — a) 4- tt sin (m, — a) + MR,

rfF rfF

-t- cosfa.-f-aj-h -TT sin(a,-h«)-f-M'R.

rfF . . rfF .

-j- = k sin ux , -n- = — n cos w, ,

da do

ce qui est toujours possible, puisque -3- et -* ne sont pas nuls, et que l'on a

rfF

da -rfF==langa" rf6

l'équation de la courbe devient *

(4) ks\n(ut — u) -h MR = o,

R étant infiniment petit, si Ton fait varier u de uK — a à a, -+- a , ou de n -h a, — a à n-*- w, -h a, le premier membre change évidemment de signe dans chacun de ces intervalles, et de plus il ne change qu'une fois, car la dérivée par rapport à u

— Atcos(m, — a)-hR -7-

ne change de signe dans aucun des deux intervalles, et par conséquent le premier membre de (4)» étant toujours croissant ou toujours décroissant, ne peut s'annuler qu'une fois.