THÉORIE DES POINTS SINGULIERS

Définitions.

462. Un cercle de rayon infiniment petit ayant son centre situé sur une courbe plane, coupe en général celle-ci en deux points que Ton peut regarder comme diamétralement opposés, en ce sens que les rayons qui s'y terminent forment un angle infiniment peu différent de deux droits. Toutes les fois qu'il en est autrement, le centre du cercle est regardé comme un point singulier. Cette dénomination comprend :

Les points de rebrous sèment, tels, que le cercle infiniment petit décrit de ces points

comme centre coupe la courbe en deux points dont les rayons forment un angle infiniment petit; on les distingue en points de rebroussement de première et de seconde espèce, suivant que les deux branches de courbe sont situées de côtés différents [fig. i), ou d'un même côté {fig. i), par rapport a la tangente commune;

Fig. i.

Les points d'arrêt, tels, que le cercle ne coupe la courbe qu'en un seul point;

Les points anguleux, tels, que le cercle coupe la courbe en deux points dont les rayons forment un angle fini.

Les points multiples, où se croisent plusieurs branches de courbe, tangentes ou non les unes aux autres, et tels, par conséquent, que le cercle coupe la courbe en plus de deux points ;

Les points isolés, qui ne sont voisins d'aucun autre, et tels, par conséquent, que le cercle infiniment petit dont on a parlé ne coupe la courbe en aucun point réel.

Caractère analytique des points singuliers.

463. Les points singuliers d'une classe nombreuse de courbes peuvent être découverts à l'aide du théorème suivant :

Si l'équation d'une courbe est F (x9 y) = o, la fonction ¥ étant continue et parfaitement déterminée pour des valeurs données dexet dey, les coordonnées d'un point singulier satisfont nécessairement aux deux équations

rfF rfF

Soient en effet a et b les coordonnées d'un point M de la courbe^ pour lequel les équations (i) ne soient pas toutes deux satisfaites; soient a -h A, $-\-k9 les coordonnées du point d'intersection de la courbe avec un cercle de rayon R ayant son centre en M; posons

h = R cos u, k = R sin u ,

ce qui revient à nommer R et u les coordonnées polaires du point d'intorsectionfen prenant le point M pour pôle et une parallèle à l'axe desX pour axe polaire; on aura

(2) F(a-hRcos«, i-hRsin a) = o.