LIVRE SECOND.- DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. jg

M étant un facteur que le développement de Taylor fait connaître, et qui dépend de u et de R.

Les valeurs de u qui satisfont à l'équation (a) diffèrent évidemment infiniment peu des racines de l'équation

/a* rf'F * . rf'F • , rf'F ,

(3) -j— COS* U -+- 2 -3 jj- Sin M COS U -+- -ri-- COS3M = o.

Si ces racines sont imaginaires, l'équation (a) est impossible, et le point considéré est un point isolé. Si elles sont réelles et inégales, le point est un point double oùse croisent deux branches de courbe qui, considérées isolément, ne présentent aucune singularité. On le démontrera pour chacune d'elles absolument comme on Ta fait pour la branche unique étudiée dans le paragraphe précédent.

Lorsque l'équation (3) a deux racines égales, la courbe n'a, au point considéré, -qu'une seule tangente, mais nous allons montrer qu'elle a, en général, un point de rebroussemen t .

% L'équation de la courbe peut en effet être mise alors sous la forme

(4) (Asina-t-BcosK)'-hMR8 = o;

A et B étant des constantes données, on peut toujours poser t ^

A = /rcosi<i, B== — /rsinw,,

et l'équation devient '

(5) /r'sin^tt, — «)+MR^o. ^

Si dans cette équation (5), on fait varier u de la valeur uK — a jusqu'à ut -h a, a désignant un très-petit angle, le premier terme du premier membre aura le même signe aux deux limites, et il en sera de même du premier membre tout entier, pourvu que R soit suffisamment petit. Il en est de même lorsque u varie de n-f-a,— a à n + «, +a, et par suite, dans chacun de ces intervalles, l'équation a un nombre pair de racines. Il est aisé de voir tout d'abord que ce nombre pair ne peut surpasser a. La seconde dérivée du premier membre par rapport à u a en effet une valeur finie aussi bien pour u = uK que pour u= n — u% ; elle ne change donc de signe dans aucun des deux intervalles considérés, dont chacun ne peut par conséquent contenir plus de deux racines, et le nombre des points d'intersection dans chaque intervalle est égal à 2 ou à zéro ; or aucun des deux termes dont se compose l'équation (5) ne change de signe lorsque u varie de uK — a, à u{ -+- a, , ou de n -h ut — a, à n -+- uK -+- a<. Si donc dans l'un de ces intervalles ils sont de même signe, il n'y a pas de solution; s'ils sont de signes

contraires, on peut faire R assez petit pour que le premier terme l'emporte pour les valeurs extrêmes de u, le second donne au contraire son signe pour la valeur intermédiaire de u qui rend le premier rigoureusement nul : il y a donc deux changements de signes, et par suite deux racines. Or les termes qui donnent leur signe à Bf sont de troisième degré en sin u et cos u ; u = ut et u = n -h «, leur donnent par conséquent des signes différents; et si les deux termes de l'équation (5) sont de mêmes signes lorsque u varie de u% — a, à u% -hai9 ils sont de signes contraires lorsqu'il varie de n-\-ut h- a, à n-\-u% — ai9 et réciproquement. Il y a donc deux points d'intersection dans l'un des deux intervalles» et aucun dans l'autre, ce qui indique évidemment un rebroussement; et comme la valeur de u=u% ou;i = rr + u( qui correspond à la tangente, donne au premier membre un signe opposé à celui qu'il prend pour celles qui correspondent aux extrémités du petit intervalle considéré, les points d'intersection sont situés de part et d'autre de la tangente, et le rebroussement est de première espèce.

Il est prouvé par ce qui précède que dans le cas où l'équation (3) a deux racines égales, la courbe présente en général un rebroussement de première espèce; mais le raisonnement repose sur une supposition qui peut» dans des cas exceptionnels, se trouver inexacte. Nous avons admis en effet que les termes indépendants de R qui donnent leur signe à la fonction M ont, pour u=zui9 une somme différente de zéro, et changent par conséquent de signe sans changer de valeur, quand on suppose successivement u = ut , u = 71-1-11,. S'il arrivait que la somme de ces termes fût égale a zéro lorsque u = ul9 nos conclusions seraient changées, et la courbe couperait, en général, deux fois le cercle dans chacun des intervalles que nous avons étudiés, se composant par conséquent de deux branches tangentes Tune à l'autre et dont chacune n'offre aucune singularité.

465. Il peut arriver aussi que deux des points d'intersection disparaissent, cl que la courbe présente un rebroussement de seconde espèce, mais cela exige une nouvelle équation de condition.

Pour étudier la forme de la courbe et démontrer ces assertions, il est avantageux de substituer au cercle considéré jusqu'ici, deux droites parallèles à Taxe des Y et situées de part et d'autre du point M à une distance infiniment petite, que nous désignerons par h; il est clair que les intersections de ces parallèles avec la courbe feront connaître le nombre et la situation des branches de celle-ci. Posons donc

l'équation de la courbe deviendra, en employant les notations adoptées et ayant égard aux conditions admises,

(1) i(A//'-4-2BAA-f-C/,a)-f-(p,(/*,/r) = o,