LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

<çt(h,k) contenant des termes dont le degré est égal ou supérieur à 3. Si Ton divise l'équation par k* et que Ton pose t = u, cette équation devient

(2) * Aa'-f-iBa4.C4-A/(w) + Aî/,(W)4-A,/,(M)+...=o,

fî{u)> f*{u)>fz{u)> étant des fonctions entières de u, la première du troisième degré, la seconde du quatrième, et ainsi de suite.

Dans le cas que nous étudions, les trois premiers termes de cette équation forment un carré parfait, elle se réduit à la forme

(3) A (« — uly + !ift(u) + h>fi(u)-h...=o;

A étant très-petit, les solutions sont évidemment très-peu différentes de u<, et il n'y a par conséquent qu'une seule tangente formant avec l'axe des X un angle dont la tangente est u{ . Si/4 (u, ) est de même signe que A, il y a deux solutions si h est négatif, et il n'y en a pas si h est positif; le contraire a lieu si /■(««) est de signe contraire à A; la courbe présente dans les deux cas un rebroussement de première espèce. Nous ne reviendrons pas sur cette discussion, qui a été faite par la considération du cercle. Le cas singulier qui reste à examiner est celui où l'on a/4 (m,) = o. Posons alors

et remplaçons l'inconnue u par ut -4- XA, X étant une inconnue nouvelle. L'équation (3) deviendra

(5) AX'Aa-hAîX4i(«I-f.XA)4-A2/t(a,-hXA)+... = o;

en supprimant le facteur A2 et développant i|>(tt,-hXÀ), /a(uf4-XÀ), par le théorème de Taylor, il vient

(6) Al2 + l + (ul)+f,(ul) + Vh-hQh*+...=o;

h étant infiniment petit, les valeurs de X différent infiniment peu de celles qui satisfont à l'équation

(7) AX'4-*+(w,)4-+f«,) = o.

Si cette équation a deux racines réelles X4 etX2, il est aisé de voir que l'équation (5) admettra, pour une valeur infiniment petite de h, une solution comprise entre X, — s et X, -+- e , et une autre entre Xa — s et X2 h- e, e étant aussi petit que l'on voudra.

La courbe se compose donc de deux branches ayant même tangente, et dont chacune ne présente aucune singularité. Si l'équation (7) a ses racines égales, en nommant X0 leur valeur commune, on peut écrire la relation (6) sous la forme

A{\— X,)>-f-PA-hQA'-h... = o.

Cette équation ne peut être satisfaite que pour une valeur de X telle* que le terme du premier degré en h soit de signe contraire à celui de A. Si donc Tune des parallèles à Taxe des Y menées départ et d'autre du point M coupe la courbe» l'autre ne la coupe pas, et il y a rebroussement. Ce rebroussement est de secondé espèce» car les deux valeurs de X sont l'une et l'autre peu différentes de X0, et» comme on a posé

les deux valeurs de u correspondent à deux directions situées du même côté par rapport à la tangente dont le coefficient angulaire est u0.

466. La discussion complète de la question présenterait un bien plus grand nombre de cas. Nous nous sommes bornés» en effet» à celui où les termes du second degré dans le développement de Taylor ne sont pas identiquement nuls. Si ces termes disparaissaient en même temps que ceux du premier degré, nos conclusions seraient en défaut» mais nous ne développerons pas la discussion de ces cas particuliers dans lesquels trois branches de courbe se réunissent» en général» au point singulier considéré.

467. Pour déterminer les points singuliers de la courbe représentée par l'équation

on doit, d'après la théorie précédente, chercher d'abord les valeurs de x et.de y qui satisfont, s'il est possible, aux trois équations

(») F(x,r) = o, ;tj = o, 7^: = 0-

Pour les obtenir, on devra éliminer une inconnue, y par exemple, entre les deux premières équations, et l'on obtiendra une équation finale en x, parmi les racines de laquelle se trouveront les valeurs cherchées de a;. M. Padula a remarqué que ces valeurs sont toujours des racines multiples, et qu'il n'existe par conséquent pas de points singuliers lorsque l'équation finale n'a pas de racines égales.

Pour éliminer en effet y entre les deux premières équations (2), on peut conrevoir que l'on résolve la seconde par rapport ky, et qu'après en avoir déduit

on remette cette valeur dans la première, qui devient ainsi